Методы оптимизации. МОЛР№1. Решение злп графическим методом по дисциплине Методы оптимизации

• Название: Решение злп графическим методом по дисциплине Методы оптимизации
• Анкор: Методы оптимизации
• Дата: 27.05.2021
• Размер: 132.72 Kb.
• Имя файла: МОЛР№1.docx
• Тип: Решение; #210446

ФГБОУ ВО

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Кафедра АСУ

Отчёт по лабораторной работе №2

«Решение ЗЛП графическим методом» по дисциплине «Методы оптимизации»
Вариант 18.

Выполнил: ст. гр. ПИ-221

Сементеев А.А

Проверил: ст.пр.кф.асу

Кондратьева О.В.

Уфа 2021

Цель работы: научиться решать задачи линейного программирования графическим методом при помощи построения графиков в Excel.

Ход работы:

Задача. При откорме каждое животное должно получать не менее 11 ед. белков, 10 ед. углеводов и 16 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице:


Рисунок 1. Таблица-условие

Стоимость 1 кг корма первого вида – 6 д.е., второго – 7 д.е. Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

1. 
   Идентификация переменных и целевая функция
   

Переменные x отражают количество килограмм корма. Пусть x1 – количество кг корма 1 вида, а x2, соответственного, количество кг 2 вида.

Тогда общая стоимость корма будет иметь вид:

Поскольку нам необходимо найти минимальную стоимость, то мы решаем задачу минимизации.

2. 
   Ограничения системы
   

Из условия известна норма потребления питательных веществ животного – это и будет являться нашими ограничениями, а также ограничение на положительность x1 и x2 (не может быть отрицательное количество кг):

3. 
   Итоговая математическая модель будет иметь следующий вид:
   

4. 
   В системе ограничения заменим x2 на y, а знак «неравенство» на «равенство» и получим 5 уравнений и приведем к стандартному виду прямой:
   

Найдем точки пересечения с осями координат (рис. 1)



Рис. 1 Точки прямых с осями координат

Таким образов ОДЗ - плоскость ограниченная ломанной KFH (рис. 2)



Рис. 2. Область определения

5. 
   Далее построим направляющий вектор С по двум точкам (0;0) и (6;7). Построим перпендикуляр к вектору C ч/з начало координат. Будем передвигать прямую ЦФ параллельно самой себе вниз и вправо до крайней точки – т.F (рис. 3)
   

Рис. 3 Нахождение точки оптимума

6. 
   Найдем координаты точки оптимума:
   

Т.к. точка F лежит на пересечении прямых y2 и y3, то приравняем их и решим систему:



В итоге решение системы:


С учетом замены получим, что x1 = 3,78, а x2 = 2,44

7. 
   Найдем значение целевой функции в точке оптимума:
   

F(F) = F (3,78;2,44) = 6*3,78 + 7*2,44 = 22,68 + 17,08 = 39,76
Ответ: таким образом, дневной рацион будет состоять из 3,78 кг корма 1 вида и 2,44 кг корма 2 вида. При таких значениях затраты будут минимальны и составят 39,76 денежных единиц.
Ответы на контрольные вопросы:

1. 
   Экономический смысл найденных координат точки оптимальности заключается в том, что координата по y будет отражать оптимальное количество корма 2 вида, а координата по x – количество корма 1 вида при минимальных затратах денежных ресурсов.
   
2. 
   Необходимо составить систему ограничений, определить полуплоскости каждой прямой (в соответствии со знаком неравенства), а затем найти полуплоскость, в которой все они совпадают. В моем случае это будет бесконечная плоскость, ограниченная ломанной.
   
3. 
   Направляющий вектор C строится по точкам с координатами (0;0) и (С1; C2), где С1 и С2 – это коэффициенты при x1 и x2 соответственно. Вектор C указывает направление наискорейшего улучшения целевой функции (в моем случае минимизацию затраченных денежных единиц).
   
4. 
   Из условия известна норма потребления питательных веществ животного (см. таблицу) – это и будет являться нашими ограничениями, а также ограничение на положительность x1 и x2 (не может быть отрицательное количество кг).
   
5. 
   В случае максимизации целевой функции направляющий вектор направлен вправо вверх, а в случае минимизации – влево вниз, что непосредственно влияет на нахождение точки оптимума.