Рубежный контроль 1. Российский государственный социальный университет итоговое практическое задание по дисциплине Математика

• Название: Российский государственный социальный университет итоговое практическое задание по дисциплине Математика
• Дата: 07.06.2021
• Размер: 285.22 Kb.
• Имя файла: Рубежный контроль 1.docx
• Тип: Документы; #214823

Российский государственный социальный университет

ИТОГОВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

по дисциплине «Математика»


Рубежный контроль 1

ФИО студента	Кучканов Денис Петрович
Направление подготовки	Информационные системы и технологии
Группа	ИСТ-Б-01-З-2020-1

Москва 2021

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ 1

Задание 1

Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления:

1) . Чтобы избавиться от неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение , получим Выражение разложим на множители:

⇒

, возвращаемся к пределу:





2) .

Рассмотрим предел функции отдельно: . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень при переменной, т.е. на , получаем

. Возвращаемся к пределу .

3) Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций имеем, что , подставляем:

, разделим числитель и знаменатель на :

.

4)

Использовали второй замечательный предел.

5) . По свойствам логарифма, теперь найдем предел подлогарифмической функции, а после результат прологарифмируем:

, логарифмируем:

.

Задача 2

Исследовать на непрерывность функции, найти точки разрыва и определить их тип. Построить графики функций.

Решение:

1)

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой функция не определена. Вычисляем односторонние пределы:

, : односторонние пределы конечны и равны, следовательно, в точке функция терпит устранимый разрыв.

График функции:



2) , т.к. функция содержит в себе модуль, то ее можно расписать кусочным образом: , сократим дроби обоих кусков на , при этом в системе дополнительно указываем условие и первое неравенство сделаем строгим:

. Исследуем полученную функцию на непрерывность:

Функция не определена в точке , поэтому можно сразу сказать, что не является в ней непрерывной. Установим характер разрыва, вычисляем односторонние пределы:

, : односторонние пределы конечны и различны, следовательно, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

График функции:



3)

а) Исследуем на непрерывность точку :

функция определена в данной точке;

Вычисляем односторонние пределы:

, : односторонние пределы конечны и равны, следовательно, существует общий предел: предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке, т.е. функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

б) Исследуем на непрерывность точку :

функция определена в данной точке;

Вычисляем односторонние пределы:

, : односторонние пределы конечны и равны, следовательно, существует общий предел: предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке, т.е. функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

График функции: