Лист Мёбиуса. Удивительный и таинственный лист Мёбиуса. Шаг в науку Направление Я и мои увлечения Удивительный и таинственный лист А. Ф. Мёбиуса
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Сергачская средняя общеобразовательная школа №3» Межрайонная научно-исследовательская конференция обучающихся «Шаг в науку» Направление: «Я – и мои увлечения» «Удивительный и таинственный лист А.Ф.Мёбиуса» Ф.И.О. исполнителя: Мангушева Дамира Дамировна, 4 класс Ф.И.О. руководителя: Гудкова Татьяна Ивановна г. Сергач-2022г. Оглавление Введение 3 Наука топология…………………………………………………..5 А.Ф. Мёбиус и его удивительное открытие……………..6 2.Практическая часть 2.1. Моделирование объекта исследования…………………….7 2.2.Проведение опытов с листом Мёбиуса……………………..7-9 2.3.Экспериментальные исследования и выводы……………...10 3. Применение ленты Мебиуса……………………………………….11 4.Заключение 13 5. Используемая литература 13 Введение. Для некоторых людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Наш современник Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится необычный памятник, какая то загагулинка. И это привлекло моё внимание. Оказывается, это ни какая - то загалулинка, а «Лист Мёбиуса». Так я узнала, что существует такая необычная фигура и называется она «Лист или лента Мёбиуса» и у нее необычные свойства. Эта удивительная поверхность, которая имеет только одну сторону. Хотя лист Мёбиуса был открыт ещё в XΙX веке, интерес к нему не угас и сегодня. Его удивительные свойства использовались и используются в технике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. И данная тема не может быть не интересной. Так возникла идея моего исследовательского проекта. Я думаю, что многие уже знают или слышали, что такое лист (лента) Мёбиуса, но, кто ещё не знаком с ним и его свойствами, я предлагаю вместе со мной провести изготовление и исследование. Актуальность: за последнее столетие большое внимание уделяется на изучение различных областей математики, новые знания приобрела ветвь геометрии – топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мебиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены.Значимость работы: с точки зрения теории - это обобщение мнения ученых и выдвижение своего личного отношения к данному предмету. В ходе исследования анализируются особенности применения и необычность поверхности листа Мёбиуса. Больший интерес составляет то, что у этой фигуры только одна поверхность. Практическая ценность моей работы в том, чтобы доказать гипотезы ученых в виде экспериментов. Цель исследования: определить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса. Для достижения цели поставлены следующие задачи: 1) раскрыть понятие топологии; 2) познакомиться с историей появления ленты Мёбиуса; 3)выявить и исследовать свойства ленты Мёбиуса; 4) установить области применения ленты Мёбиуса; 5) разработать методику определения удивительных свойств листа Мёбиуса. Объект исследования: лента Мебиуса как модель односторонней поверхности. Гипотеза: как это ни удивительно, но односторонние поверхности существуют. Методы исследования: анализ литературы по теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями); эксперимент. 1.Наука топология. Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Лента или лист А.Ф.Мёбиуса – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса. Она известна и под именем ―резиновая геометрия, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично. Как было сказано выше, что топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии баранка и кружка одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар - разные объекты; чтобы сделать отверстие, надо разорвать шар. Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны.  Топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Родоначальниками топологии были немецкий учѐный Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф, Павел Сергеевич Александров (1896- 1982). 1.1 А.Ф.Мёбиус и его удивительное открытие. Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) немецкий математик, теоретик, ученик "короля математиков" Гаусса. Он родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу показал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1858 году в возрасте 68 лет Мёбиус представил Парижской академии мемуары об «односторонних» поверхностях. В своей работе «Об объёме многогранников» он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Что же подтолкнуло Мёбиуса к этому открытию? Есть три версии: 1.Открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. 2.Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок. 3. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки. Что же это за поверхность – лента Мёбиуса? Самое удивительное то, что сделать её своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист или лента Мебиуса. 2.Практическая часть. 2.1. Моделирование объекта исследования. Берём бумажную полоску – длинный узкий прямоугольник АВСD (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см). Перекрутив один конец полоски на 180º, склейте из неё кольцо. Клеить нужно аккуратно, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка B с точкой D. Получим такое перекрученное кольцо. Итак, мы склеили ленту Мёбиуса. Модель готова.   Чтобы исследовать лист Мёбиуса необходимо провести опыты. Для этого сделайте несколько таких моделей. 2.2.Проведение опытов с листом Мёбиуса. Опыт №1. Поставим точку на одной стороне кольца и проведём непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку. Если же провести линию в обычном кольце, то линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая остаётся чистой. Лист Мёбиуса. Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке. Вывод: Поверхность листа Мѐбиуса является непрерывной. На листе Мѐбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты. Разрывов нет – непрерывность полная. Опыт №2.Закрасим пунктирной линией только один край обычного кольца и листа Мёбиуса. Обычное кольцо. Один край кольца закрашен, второй край нет. Лист Мёбиуса. Линия края получилась, непрерывно закрашена на всём кольце. Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край.  Опыт №3. Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое звено этой цепочки по средней линии вдоль. Обычное кольцо. Получится два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного. Лист Мёбиуса. Получится лента с двумя полуоборотами. Вывод: в данном опыте доказали, что лист Мёбиуса- непрерывная линия.   Опыт № 4. Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям. Обычное кольцо. Получилось два кольца, точнее две половинки от исходного кольца. Каждое кольцо будет уже, но длина будет такой же, как длина первоначального кольца. Лист Мёбиуса. Получилось одно большое перекрученное кольцо в виде восьмёрки. Исследуем полученные поверхности: на полученных кольцах поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придѐм снова в отмеченную точку(повторим опыт 1). Обычное кольцо. Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца. Результат опыта №1 повторился. Лист Мёбиуса. Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца. Результат опыта № 1 не повторился. Получилась не лента Мёбиуса. Вывод: при подобном разрезании лист Мёбиуса утратил свойство непрерывности. Опыт №5. На внутреннюю сторону обычного кольца мысленно посадим одного человечка, а на наружную - другого. Разрешим им бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Посадим их на ленту Мёбиуса, разрешим бежать в разных направлениях. Обычное кольцо. Человечки никогда не встретятся, не пересекая края Лист Мёбиуса. Человечки встретятся, не пересекая края в любом случае. В  ывод. При этом они обойдут обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая. Это доказывает, что лента Мёбиуса является односторонней поверхностью.Опыт №6. Склеиваем две ленты Мёбиуса, переворачивая полоски в разные стороны, перпендикулярно друг другу. Разрежем по продольным центральным воображаемым линиям. Получаются сцепленные сердца.  Опыт №7. Сделайте ленту Мёбиуса, но перед склейкой поверните её не один раз, а три раза. Затем разрежьте её вдоль центральной линии. Получится замкнутая лента, завитая в узел трилистника.  2.3. Экспериментальные исследования и выводы. Я настолько увлек изучением листа Мёбиуса, рассмотрела нижеописанные эксперименты: Эксперимент 1. Завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов. После получения результата я систематизировала свои действия и вывела нижеследующий порядок действий. Инструкция к эксперименту 1. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки человека, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде “трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. Эксперимент 2. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Инструкция к эксперименту 2. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую часть полужилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы: -Лента Мёбиуса имеет 1 край. -Лента Мёбиуса имеет одну поверхность. -Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски. Один край и одна сторона листа Мёбиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния. -Если закрашивать одну сторону ленты Мёбиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты. -Если пустить по поверхности ленты Мебиуса, движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго. -Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса. 3.Применение листа Мёбиуса Для начала надо вспомнить, что на магнитных лентах, закрученных по Мёбиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с “двух сторон” не меняя местами. В технике, например, при шлифовании, широко используются мёбиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но и резать различные материалы, даже гранит. Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мёбиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается, значит, и служить она будет дольше. Это даёт ощутимую экономию. Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. А лет восемнадцать назад ленточке нашли совсем другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель. Аттракцион «Американские горки», являющийся подобием «необыкновенного листа», многих людей приводили в восторг.  Лист Мёбиуса в природе и в жизни. Принцип ленты Мёбиуса актуален не только для технических устройств. Сердце человека «сшито» из мышечной полосы, свёрнутой в точности, как лента Мёбиуса, это установил американский кардиохирург профессор Джеральд Бакберг. Узнав об этом, Юрий Артёмович Арутюнов перевёл уравнения сердечных колебаний в режим ленты Мёбиуса — и теперь при операциях на сердце можно будет учитывать этот объективный закон природы, чтобы повысить гарантийный срок «кардио-ремонта». Не только сердце, но и вся Вселенная выполнена по тому же оптимальному образу. Электрон, как выяснилось, описывает вокруг атомного ядра не строго круговую орбиту, а повёрнутую на 180 градусов и только благодаря этому «изобретению» не падает на ядро. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.  4.Заключение Выполняя исследовательскую работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, я узнала о жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё гениальное рядом». Открытие положило начало новому направлению в математике. Я получила великое удовольствие, когда выполняла опыты. Результаты были очевидны, поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом Мёбиуса. Так я узнала и доказала удивительные свойства листа Мёбиуса. Предположение, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, подтвердилось. И думаю, что цель моей исследовательской работы достигнута. Мною не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Исследуйте и делайте свои собственные открытия и выводы. 5. Используемая литература Гарднер М., «Математические чудеса и тайны» М: Наука, 1998. Квант: научно-популярный журнал. – 2005, № 7; 2016, № 8. Первое сентября: журнал.- 2007,№3 Интернет-ресурсы: http://ru.wikipedia.org/wiki/ http://portfolio.1september.ru/ http://oriart.ru/publ/3-1-0-11 http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00046/48100.htm http://www.calend.ru/person/2637 |