2. Статистические распределения. Статистические распределения 4 Распределение Максвелла

• Название: Статистические распределения 4 Распределение Максвелла
• Дата: 28.08.2022
• Размер: 0.91 Mb.
• Имя файла: 2. Статистические распределения.doc
• Тип: Глава; #654809

Глава 2. Статистические распределения

§4 Распределение Максвелла

Имеем идеальный газ, находящийся в равновесном
сос­тоянии. Молекулы газа движутся с разными (от 0 до ) скорос­тями. Скорость каждой молекулы непрерывно изменяется из-за соударений и по величине и по направлению. Число всех молекул N.

Необходимо определить среднее число молекул dN, скорости которых лежат в интервале от V до V+dV. dN прямо пропорционально общему числу молекул N, ширине интервала dV и зависит от величины скорости V, т.е.

, (4.1)

где f(V) - коэффициент пропорциональности, зависящий от V. Этот коэффициент называется функцией распределения молекул газа по скоростям.

Из равенства (4.1) получаем

(4.2)

Отношение числа молекул dN к общему числу всех молекул N показывает, какая часть молекул имеет скорости, заключенные в пределах от V до V+dV, иначе говоря, это отношение есть вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале от V до V+dV.

Тогда из равенства (4.2) следует, что- вероятность того, что молекула газа имеет скорость в пределах от V до .

Проинтегрируем равенство (4.2)

(4.3)

Равенство (4.3) называют условием нормировки функции распределения молекул газа по скоростям. Оно означает, что вероятность того, что молекула газа имеет какое-то значение скорости в интервале от 0 до равна 1.

Применяя методы теории вероятности, Максвелл получил аналитическое выражение для функции распределения молекул идеального газа по скоростям (4.4).

(4.4)

где m и v - масса и скорость молекулы; K - постоянная Больцмана, T - термодинамическая температура газа.

График функции распределения Максвелла приведен на рис. 4.1.






Площадь, охватываемая кривой , в соответствии с равенством (4.3) равна единице. Формула (4.1) с учетом равенства (4.4) примет вид

(4.5)

Установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям (4.5) и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии, а число молекул N должно быть достаточно велико.

Для того, чтобы найти число молекул , имеющих скорости в интервале от до необходимо равенство (4.5) проинтегрировать, т.е.

§ 5. Характеристические скорости молекул газа

1. Наиболее вероятная скорость.

Скорость V, для которой число молекул в интервале от V до V+dV максимально, называется наиболее вероятной. Из формулы (4.1) следует, что при неизменном количестве молекул Nи фиксированном (dV = const) интервале скоростей dN будет иметь максимальное значение, если функция распределения f(V) примет максимальное значение. Исследуем функцию f(V) (см.4.4) на максимум, для этого возьмем производную от f(V) по скорости и приравняем ее нулю.

Удовлетворяющие этому уравнению значения V = 0 и V =  соответствуют минимумам f(V) (см. рис. 4.1). Значение V, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое V_вер.

(5.1)
Преобразуем равенство (5.1)

Подставим эти выражения для постоянной Больцмана и массы молекулы в формулу (5.1) получаем

(5.2)

где R - универсальная (молярная) газовая постоянная; M - молярная масса газа.

Формулу (4.5) можно значительно упростить, если перейти к относительной скорости

Из двух последних формул получаем

или (5.3)

Дифференцируем равенство (5.3)

(5.4)

Формула (4.5) с учетом равенств (5.3) и (5.4) примет вид
(5.5)

где dN - число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от U до U+dU.

Проинтегрировав равенство (5.5) в пределах от U₁ до U₂, найдем количество молекул N, относительные скорости которых заключены в этих пределах :

2. Средняя арифметическая скорость
Среднее значение модуля скорости определяется по формуле

сумма модулей скоростей всех молекул

= =

число всех молекул
В эту формулу подставим выражение для dN (4.1)
В соответствии с условием нормировки функции распределения (4.3) знаменатель последнего выражения равен единице и оно примет вид

(5.6)

С учетом равенства (4.4) последняя формула примет вид



После вычисления интеграла последнее равенство примет вид:

(5.7)

Преобразуем равенство (5.7)

Подставив выражения для k и m в (5.7) получим

3. Средняя квадратичная скорость.

Найдем среднее значение квадрата скорости

сумма квадратов скоростей всех молекул

= =

число всех молекул
Подставляем в последнюю формулу выражение для dN (4.1)
Знаменатель в последней формуле равен единице (см. 4.3),
поэтому

(5.7)

С учетом равенства (4.4) последняя формула примет вид:
После вычисления интеграла последнее равенство примет вид:

(5.8)

Квадратный корень из выражения (5.8) дает среднюю квадратичную скорость молекул

(5.9)

С учетом двух последних равенств формула (5.9) примет вид:

(5.10)


§ 6. Барометрическая формула
Атмосферное давление на какой- либо высоте h обусловлено весом (вес тела равен силе тяжести, если ускорение опоры равно нулю) выше лежащих слоев воздуха. Обозначим буквой P давление на высоте h (P₀ - давление на высоте h = 0). Тогда давление на высоте h+dh будет P+dP.


Разность давлений P и P+dP равна весу воздуха, заключенного в объеме цилиндра с площадью S и высотой dh (рис.6.1) , поэтому


,

где - плотность воздуха на высоте h (высота цилиндра dh очень мала и плотность воздуха, в пределах этой высоты, можно считать постоянной).

Из последнего равенства получаем:

(6.1)

Плотность воздуха определим из уравнения Менделеева-Клапейрона.

(6.2)

Формула (6.1) с учетом равенства (6.2) примет вид:
(6.3)

Будем считать, что температура воздуха не зависит от высоты (изотермическая атмосфера), зависимостью g от h пренебрегаем. Интегрируем равенство (6.3)



Потенцируем последнее равенство.



(6.4)

Эта формула называется барометрической. Из нее следует, что атмосферное давление убывает с высотой.

Перепишем формулу (6.2) для плотности воздуха у поверхности земли и плотности на высоте h.

(6.5)

(6.6)

Формула (6.4) с учетом равенств (6.5) и (6.6) примет вид:
§7. Распределение Больцмана. Распределение
Максвелла-Больцмана
Преобразуем барометрическую формулу (6.4)

(7.1) , где m - масса молекулы газа.

(7.2) , где k - постоянная Больцмана.

Формула (6.4) с учетом равенств (7.1) и (7.2) примет вид:

(7.3)

(7.4), (7.5) , где n и - концентрации молекул газа на высоте h и h=0.

Формула (7.3) с учетом равенств (7.4) и (7.5) примет вид:
(7.6)

(7.7),

где - потенциальная энергия молекулы на высоте h.

Из формул (7.6) и (7.7) получаем:

(7.8)

Здесь - концентрация молекул в том месте, для которого принята равной нулю, n - концентрация молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы равна .

Из формулы (7.8) следует, что концентрация молекул больше там, где меньше их потенциальная энергия.

Больцман доказал, что распределение (7.8) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. Поэтому формулу (7.8) называют распределением Больцмана.

Объединим распределение Максвелла и Больцмана. Перепишем распределение Максвелла и преобразуем его.

,

где - число молекул в объеме ; dN - число молекул (из этихмолекул), скорость которых лежит в интервале от V до V+dV

 (7.9)

Подставим из (7.9) в распределение Максвелла и перейдем к бесконечно малому объему ():


(7.10)
Равенство (7.10) называют распределением Максвелла-Больцмана.

, (7.11)

где Е - полная энергия молекулы.

C учетом равенства (7.11) распределение Максвелла-Больцмана примет вид:
(7.12)
В уравнении (7.12) dN - число молекул, которые находятся в объеме (в этом объеме полная энергия молекул равна E) и скорость которых лежит в интервале от V до V+dV.

§ 8. Степени свободы. Закон равномерного распределения молекул по степеням свободы

Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин (координат), с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве или иначе: число степеней свободы равно числу независимых возможных движений системы.

Положение материальной точки ,свободно движущейся в пространстве, определяется тремя координатами x,y,z или свободная материальная точка может двигаться поступательно по трем взаимно перпендикулярным направлениям (вдоль координатных осей x,y,z). Следовательно, свободная материальная точка имеет три поступательные степени свободы.

Положение абсолютно твердого тела (а.т.т.) можно определить с помощью трех координат x,y,z его центра масс и углов , указывающих ориентацию тела в пространстве или а.т.т. может двигаться поступательно по трем взаимно перпендикулярным направлениям и вращаться относительно трех взаимноперпендикулярных осей. Следовательно а.т.т. имеет шесть степеней свободы (три поступательных степени свободы и три вращательных).

Для определения положения в пространстве не абсолютно твердого тела, различные части которого могут смещаться друг относительно друга, вводятся дополнительные степени свободы колебательного движения.



Рис.8.1

Молекулу одноатомного газа можно считать материальной точкой (м.т.) и она имеет три степени свободы поступательного движения.

Молекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой два атома (две м.т.) А и В, жестко связанных между собой (рис. 8.1).

Кроме трех степеней свободы поступательного движения, которое характеризуется скоростью центра масс С, такая молекула имеет еще две степени свободы вращательного движения относительно осей О_1 О₁ и О₂  О₂

Вращение относительно третьей оси не вносит вклада в энергию молекулы, так как ее момент инерции относительно этой оси равен нулю.

Таким образом, двухатомная молекула (связь между атомами жесткая) имеет 5 степеней свободы.

Если в многоатомной молекуле атомы образуют линейную цепочку и связь между атомами жесткая, то такая молекула имеет так же 5 степеней свободы: (три поступательных и две вращательных).

Молекулы, состоящие из трех или более атомов (не расположенных на одной прямой), с жесткой связью между атомами имеют 6 степеней свободы: три поступательных и три вращательных (рис.8.2).

Из сравнения выражений P = nkT и следует, что:

(8.1)


C

При любом числе степеней свободы молекулы три из них поступательные, причем ни одна из них не имеет преимущества перед другими. Поэтому на каждую из поступательных степеней свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная .

В классической статистической физике выводится закон равнораспределения, согласно которому на каждую степень свободы (поступательную, вращательную и колебательную) молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия равная (kT)/2.

Тогда средняя энергия молекулы определится по формуле:

(8.2)

,

где i - число степеней свободы молекулы с жесткой связью между атомами, и - число поступательных и вращательных степеней свободы, k - постоянная Больцмана.
Модель молекулы в виде системы жестко связанных между собой атомов - материальных точек, является весьма приближенной. Во многих случаях необходимо принимать во внимание возможность относительных смещений атомов в молекуле, т.е. вводить в рассмотрение колебательные степени свободы молекулы. Например, нежесткая двухатомная молекула (рис. 8.1) имеет одну колебательную степень свободы, а нежесткая трехатомная молекула (рис.8.2) - три колебательные степени свободы. Колебательная степень свободы должна обладать в двое большей энергетической емкостью по сравнению с поступательной и вращательной. Это объясняется тем, что поступательное и вращательное движение молекулы связанно с наличием только кинетической энергии, в то время как колебательное движение связанно с наличием и кинетической, и потенциальной энергии, причем для гармонического осциллятора среднее значение кинетической и потенциальной энергии оказывается одинаковым. Поэтому на каждую колебательную степень свободы должны приходиться в среднем энергия равная kT ((kT)/2 - в виде кинетической энергии и (kT)/2 - в виде потенциальной ). Поэтому, если для определения энергии молекулы пользоваться формулой (8.2) необходимо считать, что


Глава 3. Термодинамика

§ 9. Внутренняя энергия. Работа при изменении объема. Теплопередача. Количество теплоты.
Теплоемкость. Первое начало термодинамики

Внутренней энергией тела называется энергия этого тела за выче­том кинетической энергии тела как целого и потенциальной энергии тела во внешнем поле сил. Например, при определении внутренней энергии некоторой массы газа не должна учитываться энергия движе­ния газа вместе с сосудом и энергия, обусловленная нахождением газа в поле сил земного тяготения.