Тестирование предпосылок теоремы Гаусса-Маркова. Пермякова ПЕ_ДЭКФ21-1М. Тестирование предпосылок теоремы ГауссаМаркова

• Название: Тестирование предпосылок теоремы ГауссаМаркова
• Анкор: Тестирование предпосылок теоремы Гаусса-Маркова
• Дата: 03.07.2022
• Размер: 114.44 Kb.
• Имя файла: Пермякова ПЕ_ДЭКФ21-1М.docx
• Тип: Контрольная работа; #623351

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финуниверситет)

Департамент математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрические исследования»
Тема: «Тестирование предпосылок теоремы Гаусса-Маркова»

Выполнила:

студентка группы ДЭКФ21-1м

Пермякова Полина Евгеньевна

Научный руководитель:

доцент, к.э.н.

Данеев Олег Валерьевич

Москва - 2021

Теоретическая часть
Связь между y и x в парной регрессии является не функциональной, а корреляционной. Поэтому оценки параметров a и b являются случайными величинами, свойства которых существенно зависят от свойств случайной составляющей 𝜀. Для получения по МНК наилучших результатов необходимо выполнение следующих предпосылок (условия Гаусса-Маркова):

1) Математическое ожидание случайных отклонений 𝜀_𝑖 равно нулю: 𝑀(𝜀_𝑖) = 0 для всех наблюдений. Это означает, что случайное отклонение не должно иметь систематического смещения.

2) Дисперсия случайных отклонений постоянна для всех наблюдений:

𝐷(𝜀_𝑖)=𝑀(𝜀²_𝑖)=𝜎², 𝑖=1,2,...,𝑛.

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений), а ее невыполнимость называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсии отклонений).

3) Случайные отклонения 𝜀_𝑖 и 𝜀_𝑗 (i  j) не коррелируют между собой (отсутствует автокорреляция):

𝑀(𝜀_𝑖, 𝜀_j) = 0, (𝑖  𝑗).

4) Случайные отклонения должны быть статистически независимы (некоррелированы) от объясняющих переменных.

Дополнительно: наряду с условиями Гаусса – Маркова обычно предполагается, что случайное отклонение имеет нормальный закон распределения:

𝜀_𝑖𝑁(0, 𝜎2).

Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии:

= 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥,

где 𝑏₀ и 𝑏₁ - оценки параметров 𝛽₀ и 𝛽₁, (𝑏₀ и 𝑏₁ - эмпирические коэффициенты регрессии).

Используя найденные оценки 𝑏₀ и 𝑏₁, можно найти расчетные значения _i переменной у:

i=𝑏₀+𝑏₁𝑥_𝑖.

Определение: Разности 𝑦_𝑖 − _i между расчетными и наблюдаемыми значениями переменной Y при Х = x_i называются остатками и обозначаются 𝑒𝑖.

Теорема Гаусса – Маркова:

Если выполнены предпосылки 1) ÷ 4) КЛРМ, то оценки 𝑏₀ и 𝑏₁, полученные по МНК обладают следующими свойствами:

1) Оценки являются несмещенными, то есть 𝑀(𝑏₀) = 𝛽₀, 𝑀(𝑏₁) = 𝛽₁.

2) Оценки являются эффективными, то есть имеют наименьшую дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок.

3) Оценки являются состоятельными, то есть при увеличении объема выборки дисперсии оценок стремятся к нулю.

Замечание: если предпосылки 2) и 3) КЛРМ нарушаются, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, а свойство эффективности нет, то есть дисперсия оценки не наименьшая.
Практическая часть
Спецификация модели:

𝑦_𝑡 = 𝑎₀ + 𝑎₁ ∙ 𝑥_𝑡 + 𝜀_𝑡, 𝑡=1,...,23,

где 𝑦 – индекс человеческого развития, 𝑥 – суточная калорийность питания населения.

Исходные данные:

Таблица 1

Страна	Индекс человеческого развития, y	Суточная калорийность питания, тыс. ккал на душу населения, x
Индия	0,545	2,415
Россия	0,747	2,704
Украина	0,721	2,753
Китай	0,701	2,844
Финляндия	0,913	2,916

Продолжение таблицы 1

Австралия	0,922	3,001
Канада	0,932	3,056
Белоруссия	0,763	3,101
Швеция	0,923	3,16
Чехия	0,833	3,177
Великобритания	0,918	3,237
Нидерланды	0,921	3,259
Швейцария	0,914	3,28
Испания	0,894	3,295
Германия	0,906	3,33
Австрия	0,904	3,343
Польша	0,802	3,344
Норвегия	0,927	3,35
Италия	0,9	3,504
Бельгия	0,923	3,543
Франция	0,918	3,551
США	0,927	3,642
Дания	0,905	3,808

Процедуры проведения расчетов:

1. При помощи функции «ЛИНЕЙН» получим таблицу оценок:

Таблица 2

Оценки, полученные с помощью функции «ЛИНЕЙН»

0,227	0,134
0,045	0,146
0,544	0,069
25,022	21,000
0,120	0,101

Оцененная модель: 𝑦_𝑡 =0,134+0,227∙𝑥_𝑡 + 𝜀̃_𝑡, 𝑡=1, ..., 23.

(0,146) (0,045) _(0,069)

2. Значения 𝐹 = 25,02 и 𝑅² = 0,54 также выписываются из результатов, получаемых с помощью «ЛИНЕЙН».

𝐹_кр(𝛼 = 0,05, 𝑑𝑓₁ = 1, 𝑑𝑓₂ = 21) = 4,325 получаем с помощью функции «𝐹. ОБР. ПХ».

Далее выполняется проверка неравенства: 𝐹>𝐹_крит: 25,02> 4,32, следовательно, нет оснований принять нулевую гипотезу о незначимости коэффициента детерминации, т.е. коэффициент детерминации признается статистически значимым.

Смысл полученного значения коэффициента детерминации: 𝑅² = 0,54 – доля дисперсии эндогенной переменной, объясненная уравнением регрессии.

Проверка статистической значимости оценок коэффициентов модели:

𝐻₀: 𝑎₀=0

𝐻₁: 𝑎₀0

|𝑡₀| = a₀/Sa_o = 0,134/0,146 ≈ 0,919

Значение 𝑡_крит. получаем с помощью функции «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х». 𝑡_крит(𝛼 = 0,05, 𝑑𝑓₂ = 21) = 2,08

0,919<2,08, следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о незначимости свободного члена, коэффициент 𝑎₀ признается незначимым.

𝐻₀: 𝑎₁=0

𝐻₁: 𝑎₁0

|𝑡₁| = a₁/Sa₁ =0,227/0,045≈ 5,002

5,002>2,08, следовательно, нет оснований принять гипотезу о незначимости коэффициента 𝑎₁, коэффициент 𝑎₁ признается значимым.

3. Для проведения теста Голдфелда-Квандта необходимо упорядочить выборку по возрастанию значений регрессора – суточной калорийности питания. Воспользуемся инструментом «Сортировка и фильтр» вкладки «Главная» (предварительно выделив всю выборку, включая данные по эндогенной переменной и заголовки): выберем пункт выпадающего меню «Сортировка и фильтр», в открывшемся окне установим «Сортировать по» – «Суточная калорийность питания...» (рис.1).



Рисунок 1. Инструмент «Сортировка и фильтр»

Далее разделим выборку на 3 части: 𝑛’=n/3=23/3≈ 8, - и оценим две модели с исходной спецификацией, т.е. 𝑦_𝑡 = 𝑎₀ + 𝑎₁ ∙ 𝑥_𝑡 + 𝜀_𝑡, где 𝑦 – индекс человеческого развития (отсортированные данные), 𝑥 – суточная калорийность питания населения (отсортированные данные), 𝑡 = 1, ... ,8 – для первой трети выборки, 𝑡 = 16, ... ,23 – для последней трети.

Таблица 3

Оценки, полученные с помощью функции «ЛИНЕЙН», по двум отсортированным частям выборки

Первая выборка				Вторая выборка
0,484	-0,597				0,094	0,571
0,146	0,416				0,095	0,334
0,648	0,086				0,140	0,041
11,040	6,000				0,976	6,000
0,082	0,045				0,002	0,010

Вычислим наблюдаемые значения статистик:

𝐺𝑄 = 𝑅𝑆𝑆₁/RSS₂ = 4,36;

𝐺𝑄^-1= 𝑅𝑆𝑆₂/RSS₁=0,229.

Гипотеза о гомоскедастичности принимается в том случае, если одновременно выполняются оба неравенства:

𝐺𝑄<𝐹_крит(𝛼, 𝑑𝑓₁=n’-(𝑘+1), 𝑑𝑓₂=n’-(𝑘+1)),

𝐺𝑄^-1<𝐹_крит(𝛼, 𝑑𝑓₁=n’-(𝑘+1), 𝑑𝑓₂=n’-(𝑘+1)).

𝐹_крит(0,05, 6, 6) = 𝐹.ОБР.ПХ(0,05; 6; 6) = 4,284.

Таким образом, в данной задаче: 4,36> 4,284, значит, одно из неравенств не выполняется, и нет оснований принять гипотезу о постоянстве дисперсии случайных возмущений, остатки признаются гетероскедастичными.
Список использованных источников
1. Галочкин, В.Т. Учебное пособие по эконометрике для бакалавров // М.: Финансовый университет, департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, 2019. – 199 с.;

2. Костромин, А.В. Эконометрика: учебное пособие / А.В. Костромин, Р.М. Кундакчян. – Москва: КНОРУС, 2021. – 228 с.;

3.Бакушева, Г.В. Задачи для подготовки к практической части экзамена по дисциплине «Эконометрика» // М.: Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, 2019. – 38 с..