Матанализ. Непрерывность и монотонность функции. Матанализ 19 тема. Условия постоянства и монотонности функции. Точки экстремума Выполнила Чудайкина Татьяна
 Скачать 3.12 Mb.
|
|
Условия постоянства и монотонности функции. Точки экстремума Выполнила Чудайкина Татьяна Финансовый факультет,1 курс, группа 2106 Монотонная функция Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. . Виды монотонных функций Функция, не являющаяся монотонной. Монотонно убывающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает. Монотонно возрастающая функция. Непрерывная функция — функция, которая меняется без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией. Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Пусть функция y = f (x) определена и дифференцируема на промежутке X . Для того, чтобы f (x) была постоянной на этом промежутке, необходимо и достаточно выполнения условия f ′(x ) = 0 при x ∈ X . Опр 1. Пусть функция y = f (x ) определена на интервале X . f ( x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на этом интервале, если для любых двух точек x1 и x2 из этого интервала, таких, что x1 < x2 , выполняется неравенство f (x1)< f( x2) (f(x1) >f ( x2) ). Интервал X при этом называется интервалом возрастания (убывания) функции f ( x) . Монотонно возрастающие или убывающие на интервале функции называются монотонными на данном интервале. Сформулируем в виде теоремы необходимые и достаточные условия монотонности функции на интервале. Пусть функция y = f (x ) определена и дифференцируема на интервале X . Для того, чтобы f ( x) монотонно возрастала (убывала) на данном интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия. 1. f ′(x ) ≥ 0 ( f ′(x ) ≤ 0 ) при x ∈ X . 2. f ′(x ) не обращается тождественно в 0 ни на каком интервале, составляющем часть интервала X . Замечание 1. Условие 2 не исключает равенства 0 значений функции f ′( x) в отдельных точках интервала X . Замечание 2. Очевидно, что для выполнения условий 1 и 2 достаточно выполнения неравенства f x f′(x ) > 0 ( f x ′(x ) < 0 ) при x ∈ X . Опр 2. Точка 0 x называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x ) , если f (x ) определена в этой точке и существует такая выколотая окрестность точки 0 x , являющаяся частью множества определения функции f ( x) , что для всех точек x , принадлежащих данной окрестности, выполняется неравенство f ( x 0 ) > f(x ) ( f ( x0 ) < f(x ) ). Пусть функция y = f (x) определена и дифференцируема на интервале X . Если точка 0 x ∈ X является точкой экстремума функции f ( x) , то выполняется условие: f ′( x0 ) = 0 . Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая, когда 0 x является точкой максимума функции y = f(x ) . В соответствии с определением 2, существует такая выколотая окрестность точки x0 , в которой будет выполнено неравенство: f (x ) − f( x0 ) < 0 . (1) Обозначим: Δx= x− x0 , Δy =f(x)-f(x0)=f(x0+ Δx)-f(x0) . В соответствии с введёнными обозначениями, перепишем неравенство (1) в виде Δy < 0 . (2) Функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 ; это означает, что Δy можно записать в виде: yΔ= f’(x0)Δx+ α(Δx) Δx, где lim α(Δx)=0 Δx →0 Подставляя это выражение в (2), получаем f′( x0 )Δx+ α (Δx) Δx<0 , откуда f ′(x0 )Δx <− α (Δx) Δ x . (3) Рассмотрим 2 случая Δ x < 0 . Разделив обе части неравенства (3) на Δx , получаем: f ′( x0) >− α(Δx ) . Перейдём в последнем неравенстве к пределу при Δx →−0 , снова руководствуясь теоремой о предельном переходе в неравенствах: lim f’(x0) ⩾ - lim α(Δx), т.е. Δx →−0 Δx →−0 (5) f ′( x0 ) ≥ 0 . Из неравенств (4) и (5) непосредственно следует равенство f '( x0 ) = 0 . Теорема доказана. Δ x < 0 Δ x > 0 . Разделив обе части неравенства (3) на Δx , получаем: f ′(x 0 ) < − α (Δx). Перейдём в последнем неравенстве к пределу при Δx → +0 . В соответствии с теоремой о предельном переходе в неравенствах получаем: lim f’(x0) ⩽- lim α(Δx),т.е. (4) Δx →+0 Δx →+0 f’(x0) ⩽ 0 Δ x > 0 Определение 3 Точка x0 называется стационарной точкой функции y = f (x ) , если f ( x) дифференцируема в этой точке и выполняется условие f ‘(x0) = 0 . Если x0 ⎯ стационарная точка функции y = f (x ) , то, в соответствии с геометрическим смыслом производной функции в точке, касательная к графику этой функции в точке (x0,f(x0)) параллельна оси абсцисс. Из теоремы 3 следует, что точки экстремума дифференцируемой функции следует искать среди её стационарных точек. Пусть существует такой интервал (x0-a,x0+a) , где a > 0 , что функция y = f (x ) определена и непрерывна на этом интервале, а также дифференцируема на интервалах ( x0 − a,x0 ) и ( x0, x0+a ) , причём на каждом из них её производная сохраняет определённый знак (т. е. принимает только положительные или только отрицательные значения). Рассмотрим следующие возможные варианты. 1. f ′(x ) > 0 при x ∈(x0 − a,x0) и f ′(x ) < 0 при x ∈( x0,x0+a ) , т. е. при переходе через точку x0 f ′(x ) меняет знак с “ + ” на “ − ”. Тогда x0 ⎯ точка максимума функции y = f(x ) . 2. f ′(x) < 0 при (x0-a,x0 ) и f ′(x ) > 0 при x ∈( x0,x0+a) , т. е. при переходе через точку x0 f ′(x) x меняет знак с “ − ” на “ + ”. Тогда ⎯ точка минимума функции y = f (x) . 3. f ′(x) > 0 ( f ′(x) < 0 ) при x ∈(x0-a,x0) ∪ (x0,x0+ a), т. е. при переходе через точку x0 f ′(x) сохраняет знак. В этом случае экстремум в точке 0 x отсутствует. В дальнейшем, говоря, что некоторая функция принимает на интервале знак “ + ” (“ − ”), будем понимать под этим, что данная функция принимает на этом интервале только положительные (только отрицательные) значения. Такой интервал будем называть интервалом знакопостоянства данной функции. |