тр. ФНПВар7. Вариант 7 н айти область определения функции и изобразить её на плоскости Д ля заданной функции область определяется следующим неравенством, или.
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
Вариант № 7 Н                 айти область определения функции и изобразить её на плоскости:  . Д                 ля заданной функции область определяется следующим неравенством:  , или  . Это неравенство определяет область, расположенную выше линии параболы  , причём сама линия параболы не входит в указанную область (см. рисунок). Ответ:  . Вычислить частные производные  и  сложной функции в данной точке:  при  .Частные производные сложной функции двух переменных  находятся по формулам  и  . В данном случае  . Следовательно,  ,  . Заметим, что в точке  промежуточные переменные равны:  . Подставляя в частные производные  , получим:  ,  . Ответ:  ,  .Найти уравнение касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в данной на ней точке:  .Касательная плоскость и нормаль к поверхности  в точке  имеют следующие уравнения: а)  (касательная плоскость):  (нормаль). В данном случае  . Найдём частные производные от  в точке  :  . Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали:  ,  . Ответ: а) Уравнение касательной плоскости: ; б) Уравнение нормали: .Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области D:  . С  тационарная точка   не является точкой экстремума, поскольку функция является возрастающей функцией своих аргументов. На границе области D  ,  , функция имеет вид  . Тогда   . Приравнивая производную к нулю, получим четыре стационарные точки   . Стационарные точки  расположены в верхней полуокружности, т.е.  , точки  - в нижней части, т.е.  . В этих точках функция соответственно равна:  . Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение  функция принимает в точках  , а наименьшее значение  - в точках  . Ответ: наибольшее значение функции - в точках , наименьшее значение - в точках .Изменить порядок интегрирования:  . В  осстановим область интегрирования (D) по пределам повторных интегралов:  ,  . Изобразим область интегрирования на чертеже (см. рисунок). Найдём точки пересечения парабол  и  :  . Порядок интегрирования в данном интеграле показан штриховкой на первом графике. На втором графике штриховка изменена на вертикальную. Из рисунка видим, что данная область является y – трапецией. На нижней границе , на верхней границе . Поэтому  и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл:  . Ответ: .Н  айти объём тела, ограниченного указанными поверхностями:  . Основанием тела в плоскости ХОУ является область D, ограниченная параболой  и окружностью  , которые пересекаются в точке  . Снизу тело ограничено плоскостью  , сверху – плоскостью  (см. рисунок). Таким образом,   . Ответ:  .Н  айти объём тела, ограниченного указанными поверхностями:  . Параболоид вращения  ограничен сверху плоскостью  (см. рисунок). Проекция тела на плоскость ХОУ представляет круг  . Сверху тело ограничено плоскостью, а снизу – поверхностью параболоида. Удобно перейти к цилиндрическим координатам:  . Уравнением параболоида будет  , уравнением плоскости -  , уравнением круга -  . Областью интегрирования будет область  . Следовательно,      . Ответ:  .Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями:  .Т  ело расположено между двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат радиуса 1 и 7, конусом (сверху), и двумя плоскостями  и  . Перейдём к сферической системе координат:  . Якобиан преобразования равен  . Уравнение малой сферы будет  , большой сферы -  , На плоскости будет  или  ., а на плоскости  будет  или  . Уравнение конуса переходит в уравнение  . Таким образом, тело занимает следующую область:  . Объём тела равен:  . Или  .  . Ответ:  . Найти массу пластинки:  Пластинка занимает область D, и  зображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат:  . Уравнением меньшего эллипса будет:  . Аналогично, для большего эллипса получим:  . Якобиан преобразования равен  . На прямой линии  имеем  . Область, занимаемая пластинкой, есть  . Тогда   . Ответ:  .Найти массу тела:  .Т  ело представляет часть шара, «вырезанную» цилиндрической поверхностью  Цилиндрпересекается с поверхностью сферы  на высоте  (см. рисунок). Область интегрирования:   . Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат:  . Таким образом, тело занимает следующую область:  . При этом плотность тела равна  . Масса тела равна:  . Или  . Ответ:  .  R Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина:  .П D реобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина:  . Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем:   . Действительно, в полярных координатах   якобиан преобразования равен  . Следовательно,  . Ответ:  .Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности  :  .М  ассу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода:  . В данном примере линия и плотность заданы в полярных координатах, где  . Следовательно,   . Ответ:  . Вычислить работу силы  при перемещении вдоль линии от точки M к точке N:  . Работу вычисляем по формуле:  . Линия находится в пересечении цилиндрической поверхности  и плоскости  (см. рисунок). Перейдём к параметрическому заданию линии:  . Найдём значение параметра t, при котором достигаются точки M и N;  ;  . Тогда    . Ответ: Работа равна  .Найти производную функции  в точке  по направлению внешней нормали  к поверхности  , заданной уравнением  , или по направлению вектора  :  .Производная по направлению находится по формуле:  , где  - координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции в заданной точке:  . Следовательно,  . Найдём координаты вектора  , где :  . Таким образом,  . Найдём единичный вектор нормали  :  . Так как координаты x и z вектора положительны, то нормаль является внешней (см. рисунок). Тогда производная по заданному направлению равна:  . Ответ:  .Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля  в заданной точке М:  .Наибольшую скорость характеризует градиент поля:  .Вычислим координаты градиента:  ,  ,  . Таким образом,  .Величина скорости есть модуль градиегнта:  .Ответ: Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна  .Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля :  .По заданному скалярному полю  построим поле его градиентов:  . Дивергенция (расходимость) вектора  определяется формулой:  . Для градиента получаем:  . Ротор вектора вычисляется как символический определитель третьего порядка:  . Для поля градиентов :    . Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений:  . Для заданного поля  : . Из равенства  следует  или  . Рассмотрим равенство  . Исключая отсюда  , получим  .Итак, уравнения векторных линий поля градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей:  . Ответ:  ,  , урвнения векторных линий поля градиентов: .Найти поток векторного поля  через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ):  .З  апишем уравнение плоскости в отрезках:  или  и изобразим её на чертеже (см. рис.). Найдём нормальный вектор:  . Нормируем нормальный вектор:  . Поток векторного поля находится по формуле  , где  - проекция вектора поля на нормаль к поверхности:  . Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ:  . При этом  . Из уравнения поверхности  . Тогда     . Ответ:  .18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением  . Вычислить: а) поток поля вектора через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);в) циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY (воспользоваться формулой Стокса):  .Решение. а) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями. С плоскостью XOY  с плоскостью XOZ  с плоскостью YOZ  (см.рисунок). Поток поля  через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского:  . Находим дивергенцию:  . Тогда    в) Циркуляцию поля вектора вдоль линии  вычислим по формуле Стокса:  . Вычислим ротор данного поля: . Найдём вектор :  (это внешняя нормаль, так как  ). Вычислим скалярное произведение:  . Таким образом, циркуляция векторного поля равна:    . Ответ:  .Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из точки А в точку В:  .Вычислим ротор вектора :  . Следовательно, поле вектора является потенциальным. Восстановим потенциал поля:    ( за точку M0 взята точка M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки:  . Ответ:  . |