Контрольная работа по предмету. Задача в пространстве 3х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен p и доходе q

Название	Задача в пространстве 3х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен p и доходе q
Анкор	Контрольная работа по предмету.docx
Дата	17.09.2018
Размер	108.69 Kb.
Формат файла
Имя файла	Контрольная работа по предмету.docx
Тип	Задача #24715

Контрольная работа по предмету «Экономико-математические модели»
Задача № 1.
В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q.

Описать его и его границу с помощью обычных векторных неравенств и равенств,
Изобразить бюджетное множество и его границу графически,
В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Задача № 2.
Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:

Производственную функцию,
Величину средней фондоотдачи.

Задача № 3.
Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите:

Равновесную цену,
Выручку при равновесной цене,

Цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку

№ вар
№ вар		1	2	3
1	1;2;3 10³,10³, 10⁵
2	1;3;2 10⁴, 5³, 10⁶
3	1;3;3 10⁴,10³, 10⁶
4	1;2;4 10⁴,5³,10⁵
5	2;5;5 10⁴,2⁵,10⁷
6	2;5;4 10³,10⁴,10⁷
7	3;6;9 10³,10³,10⁹
8	2;3;6 10⁴,10³,10¹¹
9	1;2;3 10³,10³,10⁷
10	2;4;6 10³,10³,10³

Образец решения
Задача № 1.
В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q.

Описать его и его границу с помощью обычных векторных неравенств и равенств,
Изобразить бюджетное множество и его границу графически,
В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Данные: P=(3, 8, 5); Q=120.
Решение.
Вектор цен: P=(3, 8, 5); Набор товаров Х=(х₁, х₂, х₃) (набор товаров – это вектор – столбец, но по соображениям экономии записываем его в виде вектора - строки); Бюджетное множество В – это множество всех наборов товаров Х, которое потребитель может купить на данное количество денег Q при данных ценах Р (при этом необязательно тратить все деньги).

Бюджетное множество В можно описать неравенствами:

Обычными: Векторными:

Общий вид: р₁х₁+р₂х₂+р₃х₃ ≤ Q Р*Х ≤ Q

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0 Х ≥ 0}

_{В нашем случае:}3х₁+8х₂+5х₃ ≤ 120

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0}

_{Граница бюджетного множества – это его часть, это множество всех наборов товаров стоимостью}_Q_.

_{Границу бюджетного множества можно описать равенствами:}

Обычными: Векторными:

Общий вид: р₁х₁+р₂х₂+р₃х₃ = Q Р*Х = Q

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0 Х ≥ 0}

_{В нашем случае:}3х₁+8х₂+5х₃ = 120

х₁, х₂, х_{3 ≥ 0}

Для случая 3 товаров бюджетное множество В представляет собой трехгранную пирамиду, одна вершина которой есть начало координат, а 3 другие точки Q/р₁, Q/р₂, Q/р₃, на осях х₁, х₂, х₃. Граница же бюджетного множества – основание этой пирамиды, если ее вершину считать началом координат.

Q/р₁= 120/3 = 40

Q/р₂= 120/8 = 15

Q/р₃= 120/5 = 24

Объему бюджетного множества V = (1/3)*( Q/р₃)*(1/2)*[( Q/р₁)*( Q/р₂)] V = (1/3)*( 120/5)*(1/2)*[( 120/3)*( 120/8)] = 2400

Ответ: 2400

Задача № 2.
Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:

Производственную функцию,
Величину средней фондоотдачи.

Данные: а=2, b=4, с=6, М=10⁴, L=10³,К=10¹¹.
Решение.

Производственная функция Кобба – Дугласа имеет вид Y = A * K^α*L^β, где А, α, β – константы (А, α, β > 0, α + β < 1); К – объем фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве. L – объем трудовых ресурсов – число рабочих, число человеко-дней и т. д. Y – выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении. При этом β – эластичность продукции по труду, α - эластичность продукции по фондам.

Средняя фондоотдача к = Y/К – отношение объема произведенного продукта к величине фондов.

α = а/b = 2/4 = ½, β = а/с = 2/6 = 1/3 , следовательно Y = A * K^1/2*L^1/3

Для нахождения А подставим в эту формулу К, L, М, учитывая, что Y= М L

Y =10⁴ * 10³ = A * (10¹¹)^1/2*(10³)^{1/3 А = 3,2}

Найдем среднюю фондоотдачу к = Y/К = 10⁷/10¹¹=0,0001

^Ответ:

Производственная функция: Y = A * K^1/2*L^1/3

Средняя фондоотдача к = 0,0001

Задача № 3.
Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите:

Равновесную цену,
Выручку при равновесной цене,
Цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Данные: D=200-10*p

S=35 + 5*p.
Решение
Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения,

200-10*p = 35 + 5*p р’ = 11.

Выручка при равновесной цене W = p’D(p’) = 11*(200-10*11) = 990.

В общем же случае при цене р выручка W(p) = p(min(D(p), S(p))).

На рисунке показан график выручки в зависимости от цены.

Максимум W достигается при р = 10 и равен 1000. Таким образом, максимум достигается не при равновесной цене.

Ответ: р’ = 11, W = 990, р_max = 10, W_max = 1000
Задания № 4.
Пусть все народное хозяйство (район и т.д.) состоит из трех отраслей, каждая из которых выпускает один вид из продукции. В таблице 4 указаны расходные коэффициенты (прямые затраты) a_ik единиц продукции i-ой отрасли, используемые как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции k-й отрасли, а также количество единиц y_i продукции i-й отрасли, предназначенные для реализации (конечный продукт).

Пусть дополнительно заданы расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующей отрасли, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел. (таблица 5).

Определить:

1.Коэффициенты полных затрат.

2.Валовой выпуск для каждой отрасли.

3. Производственную программу отраслей.

4. Коэффициенты косвенных затрат.

5. Суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы.

6. Коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждой отрасли.

7.Расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по отраслям.

8. Производственные затраты в денежных единицах по отраслям и на всю производственную программу.

9. Производственные затраты на единицу конечной продукции.

10. Параметры агрегирования при объединении первой и третьей отраслей.
Вариант 1.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,1	0,4	0	300
2	0,2	0,7	0,1	200
3	0	0,3	0,2	300

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	2,4	2,4	0,8	5
Сырье В	0,5	0,6	1,6	12
Топливо	2,0	1,8	2,0	7
Трудоемкость	11	23	30	1,4

Вариант 2.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,8	0,2	0	100
2	0,2	0,3	0,1	400
3	0	0,1	0,2	300

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	1,6	0,4	0,8	15
Сырье В	0	0,6	1,6	10
Топливо	2,0	1,8	2,2	8
Трудоемкость	10	30	40	2,2

Вариант 3.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,6	0,2	0	300
2	0,3	0,6	0,1	100
3	0	0,1	0,2	400

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	3,4	2,4	1,8	15
Сырье В	0,2	0,6	1,6	12
Топливо	2,0	1,8	2,2	2
Трудоемкость	20	20	30	1,2

Вариант 4.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,5	0,2	0,1	200
2	0,4	0,5	0,1	200
3	0	0,1	0,2	400

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	1,7	1,4	0,8	5
Сырье В	1,0	1,6	1,6	12
Топливо	2,0	1,8	3,2	12
Трудоемкость	40	20	30	1,3

Вариант 5.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,9	0,1	0	400
2	0,2	0	0,1	100
3	0,3	0,1	0,2	400

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	2,2	1,7	1,0	9
Сырье В	1,3	1,6	1,0	13
Топливо	2,1	2,8	2,4	3
Трудоемкость	16	21	32	1,3

Вариант 6.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,1	0,2	0	400
2	0,3	0	0,1	200
3	0,2	0,4	0,2	200

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	2,4	2,2	1,8	4
Сырье В	1,2	0	2,6	10
Топливо	3,0	2,8	3,2	5
Трудоемкость	20	10	26	2,2

Вариант 7.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,2	0,2	0	500
2	0,2	0,7	0,1	200
3	0	0,3	0,2	100

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	2,4	1,4	0,6	7
Сырье В	1,0	0,6	2,6	14
Топливо	1,0	1,3	2,0	5
Трудоемкость	14	24	26	1,5

Вариант 8.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,3	0,2	0	400
2	0,5	0	0,5	400
3	0	0,4	0,2	200

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	1,8	0,4	0,8	7
Сырье В	2,0	1,6	0,6	15
Топливо	1,2	1,9	1,2	3
Трудоемкость	15	22	18	2,2

Вариант 9.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0,6	0,2	0	200
2	0,2	0,7	0,1	500
3	0	0,2	0,2	100

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	1,6	2,6	1,2	8
Сырье В	0,6	0	1,8	14
Топливо	2,2	2,4	2,4	4
Трудоемкость	12	22	31	1,4

Вариант 10.

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0	0,2	0,2	200
2	0,3	0	0,1	300
3	0,7	0,1	0,2	400

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	1,5	2,5	0,9	6
Сырье В	0,5	0,2	1,5	10
Топливо	1,2	1,4	2,5	2,5
Трудоемкость	12	25	20	1,5

Пример решения задачи № 4

Отрасли	Прямые затраты а_ik			Конечный продукт
Отрасли	1	2	3
1	0	0,2	0	200
2	0,2	0	0,1	100
3	0	0,1	0,2	300

	Прямые затраты а_ik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	1,4	2,4	0,8	5
Сырье В	0	0,6	1,6	12
Топливо	2,0	1,8	2,2	2
Трудоемкость	10	20	30	1,2

Решение.

Обозначим производственную программу Х = (х₁,х₂,х₃) ( х_i – валовый выпуск продукции i –й отраслью), а выпуск товарной продукции Y=(y_1, y_2, y₃). А= расходные коэффициенты (таблица 1), тогда производственные взаимосвязи могут быть представлены формулой

X-AX=Y,

где AX – внутрипроизводственное потребление.

(E-A)X=Y
X=(E-A)^-1Y

(E-A)^-1=

- матрица, обратная для (Е-А), представляет собой искомые коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат.

Таким образом, например, для выпуска единицы продукции 1, 2, 3 отраслей необходимо затратить продукции 1-ой отрасли соответственно 1,04, 0,21. 0,03 единиц.

Для определения валового выпуска продукции отраслей воспользуемся равенством

Следовательно, х₁= 238_,х₂=187, х₃=400.

Производственную программу каждого из отраслей можно определить из соотношений:

И представить в виде таблицы:

Таблица 6

Отрасли	Внутрипроизводственное потребление			Итого	Конечный продукт	Валовой выпуск
Отрасли	1	2	3	Итого	Конечный продукт	Валовой выпуск
1	0	37	0	37	200	238
2	48	0	40	88	100	187
3	0	19	80	99	300	400

Коэффициенты косвенных затрат найдем по формуле:

5.Суммарный расход сырья А, сырья В, топлива и труда можно получить, умножив матрицу нормы расхода на валовой продукт:

Расход сырья на единицу конечной продукции отраслей (соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива, труда на каждую единицу конечного продукта) получим из произведения матриц:

Таким образом, например, для изготовления y₁=1 необходимо затратить 1,98 единиц сырья А, 0,17 единиц сырья В, 2,52 единиц топлива и 15,2 человеко-часов.

Расход сырья, топлива и труда по каждой отрасли получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по отраслям. В результате получим матрицу полных затрат.

8.Производственные расходы по отраслям можно получить путем умножения слева строки стоимостей (5, 12, 2, 1,2) на матрицу п.7:

9.Производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденном в п. 6 на строку цен:

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции 1, 2, 3 отраслей соответственно равны: 35.2, 59.6, 72.3.
10. Выделим в таблице отрасли, подлежащие агрегированию. Присвоим новой отрасли индекс k. Матрица коэффициентов прямых затрат с учетом агрегирования определяется формулой

А_агр=TAW*,

Где матрицы Т получается из единичной матрицы с помощью горизонтальной деформации:

Матрица W получается из единичной матрицы с весовыми коэффициентами с помощью деформации по столбам:

Новая производственная программа имеет вид:

Таблица 7

Отрасли	Внутрипроизводственное потребление		Итого	Конечный продукт	Валовой выпуск
Отрасли	К	П	Итого	Конечный продукт	Валовой выпуск
К	80	56	136	500	638
П	88	0	88	100	187