1.2 Разбор задач. Задача 1 (Задание 1). Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 48 1) 1 2) 2 3) 6 4) 4

• Название: Задача 1 (Задание 1). Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 48 1) 1 2) 2 3) 6 4) 4
• Дата: 18.04.2023
• Размер: 23.71 Kb.
• Имя файла: 1.2 Разбор задач.docx
• Тип: Задача; #1072448

1.2 Кодирование чисел в различных системах счисления

Задача 1.2.1 (Задание 1). Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 48?

1) 1

2) 2

3) 6

4) 4

Решение:

Переведём 48 в двоичную систему счисления и сосчитаем количество нулей:

48₁₀= 32 + 16 = 1*2⁵ +1*2⁴ = 110000₂

Ответ: 4.
Задача 1.2.2 (Задание 1). Двоичным эквивалентом десятичного числа 101 является:

1) 101₂

2) 110101₂

3) 1010011₂

4) 1100101₂

Решение:

Переведём 101 в двоичную систему счисления:

101₁₀= 64 + 32 + 4 + 1= 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2² + 1*2⁰ = 1100101₂

Ответ: 4.

Задача 1.2.3 (Задание 16). Запишите десятичное число 38 в си­стеме счисления с основанием 5. Основание системы счисления (нижний ин­декс после числа) писать не нужно.

Решение:

Запишем число 38 в виде суммы степеней пятёрки с соответствующими коэффициентами:

38 = 25 + 10 + 3 = 25 + 2 · 5 + 3 · 1 = 1*5² + 2*5¹ +3*5⁰ = 123₅.

 Ответ 123.

Задача 1.2.4 (Задание 1). Двоичное число 110101 соответствует восьмеричному числу

1) 53

2) 35

3) 71

4) 65

Решение:

Переведем число в десятичную систему счисления:

 

110101₂ = 1 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 1 · 2² + 1 · 2⁰ = 32 + 16 + 4 + 1 = 53.

 

Переведем число в восьмеричную систему счисления, разбив его на триады (группы по три разряда) справа налево:

младшая триада 101₂ = 1 + 4 = 5₁₀

старшая триада 110₂ = 4 + 2 = 6₁₀

5₁₀ = 5₈

6₁₀ = 6₈

110101₂ = 65₈

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4.

Задача 1.2.5 (Задание 1).  Как выглядит число В0С₁₆ в двоичной системе счисления?

1) 110010001010₂

2) 101100001100₂

3) 101100010001₂

4) 101000011100₂

Решение:

Для решения этого задания можно пойти одним из двух путей: переве­сти число В0С из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, а потом в двоичную, или заменить каждый разряд шестнадцатеричной системы на четыре бита двоичной. Так мы и сделаем.

В₁₆ = 11₁₀ = 8 + 2 + 1 = 1011₂,

0₁₆ = 0000₂,

С₁₆ = 12₁₀ = 8 + 4 = 1100₂,

B0C₁₆ = 101100001100₂.

Ответ: 2.

Задача 1.2.6 (Задание 16).  Сколько единиц содержится в дво­ичной записи значения выражения: 8²⁰²⁰+ 4²⁰¹⁷ + 26 – 1?

Решение:

Преобразуем немного выражение, получим:

8²⁰²⁰+ 4²⁰¹⁷ + 26 – 1 = (2³)²⁰²⁰+ (2²)²⁰¹⁷ + 26 – 1 = 2⁶⁰⁶⁰ + 2⁴⁰³⁴ + 25

2⁶⁰⁶⁰ = 100..(всего 6060 нулей)..00₂

2⁴⁰³⁴ = 100..(всего 4034 нулей)..00₂

25₁₀ = 16 + 8 + 1 = 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 11001₂

В двоичной записи результат будет выглядеть так:

100..(всего 2025 нулей)..00100..(всего 4029 нулей)..0011001

Всего 5 единиц.

Ответ: 5.
Задача 1.2.7 (Задание 16).  Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120.

Определите основание системы счисления.

Решение:

Напишем формулу перевода десятичного числа 63 в систему счисления с основанием N, в которой оно записывается как 120.

63₁₀ = 1*N² + 2*N¹ + 0*N⁰ = N² + 2N = 120_N

Отсюда N² + 2N = 63₁₀

Теперь мы имеем квадратное уравнение с одним неизвестным, решив которое мы найдем N.

Решим его.

D = 4 – 4*1*(-63) = 256

N₁ = (-2 + 16) / 2 = 7

N₂ = (-2 - 16) / 2 = -9

Основание системы счисления не может быть отрицательным, N = 7.

Ответ: 7.
Задача 1.2.8 (Задание 16). 

В системе счисления с основанием N запись числа 79₁₀ оканчивается на 2, а запись числа 111₁₀ — на 1. Чему равно число N?

Решение:

Так как запись чисел оканчивается на 1 и 2, то основание системы счисления не может быть меньше трёх. Последняя цифра в записи числа — это остаток от деления числа на основание системы счисления.

79 / 3 = 26 (ост. 1)

79 / 4 = 19 (ост. 3)

79 / 5 = 15 (ост. 4)

79 / 6 = 13 (ост. 1)

79 / 7 = 11 (ост. 2) – подходит.

111 / 7 = 15 (ост. 6) – не подходит

79 / 8 = 9 (ост.7)

79 / 10 = 7 (ост. 9)

79 / 11 = 7 (ост. 2) – подходит

111 / 11 = 10 (ост. 1) – подходит.

Подбором нашли, что условию удовлетворяет только N = 11.

Ответ: 11.

Задача 1.2.9 (Задание 16).  Решите уравнение:

101_x + 13₁₀ = 101_х+1

Решение:

Переведём все числа в десятичную систему счисления:

101_x = 1*x² + 1*x⁰ = (x² + 1)₁₀,

101_x+1 = 1*(x + 1)² + 1*(x +1)⁰ = ((x + 1)² + 1)₁₀,

Перепишем исходное уравнение:

(x² + 1)₁₀ + 13₁₀ = ((x + 1)² + 1)₁₀,

x² + 1 + 13 = (x + 1)² + 1,

x² + 14 = x² + 2x + 2,

2x = 12,

x = 6.

Ответ: 6.