Задача 10. Путем опроса получены следующие данные

• Название: Задача 10. Путем опроса получены следующие данные
• Дата: 17.01.2019
• Размер: 139.04 Kb.
• Имя файла: Iskhodnye_dannye_dlya_zadania_2_ANALIZ.docx
• Тип: Задача; #64102

Задача 2.10. Путем опроса получены следующие данные (n=80):

1 4 1 4 8 8 8 1 0 6	1 2 8 5 1 4 8 8 5 1	5 2 4 8 2 2 8 8 1 8
2 8 1 1 4 8 1 4 8 1	6 4 8 4 2 8 2 8 8 1	4 6 1 4 5 8 4 2 4 5
2 6 4 1 8 8 4 1 8 1	0 1 4 6 4 7 4 1 8 5

Выполнить задания:

а) получить дискретный вариационный ряд и статистическое распределение выборки;

б) построить полигон частот;

в) составить ряд распределения относительных частот;

г) составить эмпирическую функцию распределения;

д) построить график эмпирической функции распределения;

е) найти основные числовые характеристики вариационного ряда (по возможности использовать упрощающие формулы для их нахождения):

1) выборочное среднее ;

2) выборочную дисперсию D(X);

1) выборочное среднее квадратическое отклонение ;

4) коэффициент вариации V;

5) интерпретировать полученные результаты.

Решение.

а) Для составления дискретного вариационного ряда отсортируем данные опроса по величине и расположим их в порядке возрастания:

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.

Статистическое распределение выборки представлено в таблице 6.1, в которой первая строка – варианты (наблюдаемые значение), вторая строка – частоты появления этих вариант).

Таблица 6.1. Варианты и их частоты

xi	0	1	2	4	5	6	7	8
ni	2	18	9	17	6	5	1	22

б) Для построения полигона частот найдем относительные частоты (, где , где m – число различных значений признака X () и в данном примере m=8), которые будем вычислять с одинаковой точностью. Полигон частот – ломаная линия, соединяющая точки с координатами (Рис. 6.1). Расчеты запишем в табл. 6.2.

Таблица 6.2. Относительные частоты и накопленные частоты

xi	ni	Относительные частоты	Накопленные частоты
0	2	0,025	0,025
1	18	0,225	0,25
2	9	0,1125	0,3625
4	17	0,2125	0,575
5	6	0,075	0,65
6	5	0,0625	0,7125
7	1	0,0125	0,725
8	22	0,275	1
Сумма	80	1

Рис. 6.1. Полигон частот вариационного ряда

в) Запишем ряд распределения (табл. 6.1) относительных частот в виде таблицы 1, в которой первая строка – варианты (изучаемый признак), вторая строка – относительные частоты (частости).

Таблица 6.1. Распределение относительных частот появления признака

xi	0	1	2	4	5	6	7	8
ni	0,025	0,225	0,1125	0,2125	0,075	0,0625	0,0125	0,275

г) Эмпирическую функцию распределения найдем, используя накопленные частоты (табл. 6.1, столбик 4) и формулу (4.1):



д) Построим график эмпирической функции распределения (рис. 6.2), используя значения, полученные в пункте г).

Рис. 6.2. График эмпирической функции распределения

е) Для вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии с использованием приведенных выше формул, удобно составлять расчетную таблицу 6.2:

Таблица 6.2. Расчетная таблица для вычисления выборочных величин

xi	ni	xini		ni
0	2	0	18,8139	37,6278
1	18	18	11,1389	200,5003
2	9	18	5,4639	49,1752
4	17	68	0,1139	1,9364
5	6	30	0,4389	2,6334
6	5	30	2,7639	13,8195
7	1	7	7,0889	7,0889
8	22	176	13,4139	295,1059
Сумма	80	347		607,8875

Используя суммы, полученные в табл. 6.2, определим искомые величины.

1) Выборочную среднюю

2) Выборочную дисперсию

3) Выборочное среднее квадратическое отклонение



4) Коэффициент вариации

5) Интерпретация полученных результатов:

• 
  величина характеризует среднее значение признака X;
  
• 
  среднее квадратическое отклонение описывает абсолютный разброс значений показателя X относительно среднего значения и в данном случае составляет ;
  
• 
  коэффициент вариации V характеризует относительную изменчивость показателя X, то есть относительный разброс вокруг его среднего значения , и в данном случае составляет .
  

Ответ: ; ; ;

Исходные данные для задания 2 варианта 2.10

17,57	17,74	17,45	17,42	17,29	17,78	17,45	17,50
17,55	17,77	17,72	17,69	17,46	17,72	17,72	17,48
17,29	17,25	17,44	17,60	17,47	17,51	17,47	17,78
17,24	17,28	17,58	17,71	17,71	17,45	17,47	17,44
17,74	17,49	17,50	17,78	17,48	17,47	17,77	17,29
17,54	17,77	17,76	17,46	17,27	17,44	17,78	17,27
17,66	17,26	17,40	17,52	17,59	17,48	17,46	17,40
17,47	17,26	17,50	17,78	17,47	17,74	17,41	17,24
17,42	17,55	17,77	17,41	17,78	17,14	17,42	17,52
17,78	17,54	17,70	17,18	17,72	17,46	17,79	17,75
17,74	17,77	17,50	17,61	17,42	17,72	17,75	17,40
17,57	17,71	17,40	17,76	17,28	17,58	17,58	17,78
17,72	17,20	17,47	17,74

Алгоритм выполнения задания по проверке статистической гипотезы о виде распределения¹

1. 
   Определить размах выборки: R=X_Max X_Min.
   

2. 
   Назначить число карманов, m=8.
   
3. 
   Найти среднее значение (М) и стандартное отклонение ().
   

4. 
   Найти левые и правые границы для карманов, пронумерованных от 0 до m. При этом для кармана № 0 правая граница равна минимуму, для кармана № 1 правая граница равна минимальному значению плюс длина кармана, и т.д.
   

   Интервал
   17,14-17,221	3	0,03
   17,221-17,303	12	0,12
   17,303-17,383	0	0
   17,383-17,465	20	0,2
   17,465-17,546	20	0,2
   17,546-17,628	10	0,1
   17,628-17,709	3	0,03
   17,709-17,79	32	0,32
   итого

5. 
   Построить гистограмму и выдвинуть гипотезу о виде распределения.
   

Предполагаем равномерное распределение.

6. 
   Найти значения предполагаемой ФР на границах карманов:
   

Так, для нормального распределения существует встроенная функция НОРМРАСПР(), где в качестве последнего аргумента печатаем ИСТИНА.

7. 
   Найти теоретические вероятности попадания в карман (разность ФР по границам карманов).
   

При равномерном распределении вероятность попадания в карман 1/8=0,125.

7. 
   Найти теоретические частоты (произведение теоретических вероятностей попадания в карман на объем выборки).
   

При равномерном распределении теоретические частоты 100*0,125=12,5.

7. 
   Вычислить столбец величин:
   

(выборочная частотатеоретическая частота)^2 / теоретическая частота.

Сумма этих величин является значением выборочного ²_выб критерия.

Интервал
17,14-17,221	3	0,125	12,5	7,22
17,221-17,303	12	0,125	12,5	0,02
17,303-17,383	0	0,125	12,5	12,5
17,383-17,465	20	0,125	12,5	4,5
17,465-17,546	20	0,125	12,5	4,5
17,546-17,628	10	0,125	12,5	0,5
17,628-17,709	3	0,125	12,5	7,22
17,709-17,79	32	0,125	12,5	30,42
итого		1	100	66,88

7. 
   Найти значение теоретического критерия согласия ²_теор при заданном уровне значимости (у нас 0.05) можно по формуле ХИ2ОБР (вероятность; число степеней свободы), где число степеней свободы k=m1r, например, r=2 для нормального распределения, r=0 для равномерного распределения.
   

7. 
   Сравниваем ²_выб с ²_теор, делаем вывод: если ²_выб < ²_теор, то нет оснований отвергать основную гипотезу, в противном случае основная гипотеза не принимается.
   

следует гипотезу о равномерном распределении не принимаем.

1^ Рекомендуется выполнять в пакетах Excel или MathCad, здесь указаны встроенные функции Excel.