РГР Д1. Задача Д1 Груз d массой

• Название: Задача Д1 Груз d массой
• Дата: 06.11.2020
• Размер: 0.92 Mb.
• Имя файла: РГР Д1.docx
• Тип: Задача; #148396

Задача Д1


Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе AВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила (её направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движе­ния); трением груза о трубу на участке ^ АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила , проекция F_x которой на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки A до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х = f(t), где х = BD.


Указания. Задача Д1 составлена на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учитывая начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменному х, учитывая, что

Варианты задачи Д1




Рис. Д1.0 Рис. Д1.1



Рис. Д1.2 Рис. Д1.3





Рис. Д1.4 Рис. Д1.5





Рис. Д1.6 Рис. Д1.7





Рис. Д1.8 Рис. Д1.9


Таблица Д1

Номер условия	m, кг	м/с	Q, H	R, H	l, м	, с
0	2	20	6	0,4	-	2,5	2sin(4t)
1	2,4	12	6	0,8	1,5	-	6t
2	4,5	24	9	0,5	-	3	3sin(2t)
3	6	14	22	0,6	5	-	-3cos(2t)
4	1,6	18	4	0,4	-	2	4cos(4t)
5	8	10	16	0,5	4	-	-6sin(2t)
6	1,8	24	5	0,3	-	2	9t
7	4	12	12	0,8	2,5	-	-8cos(4t)
8	3	22	9	0,5	-	3	2cos(2t)
9	4,8	10	12	0,2	4	-	-6sin(4t)

^ Пример решения задачи Д1


На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где , до точки В равно l. На на­оем участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах. Дано: m=2кг, , где .

Опреде­лить х = f(t) - закон движения груза на участке ВС.





Рис. Д1


Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось А_z и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:



(1)
или


Далее находим ; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учитывая, что , получим



(2)
или


Введем для сокращения записей обозначения.


(3)




где при подсчете принято . Тогда уравнение (2) можно представить в виде


(4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем взяв от обеих частей оегралы, получим


(5)
и


По начальным условиям при z=0 , что дает , и из равенства (5) находим или . Отсюда и .

В
(6)
результате находим




П
(7)
олагая в равенстве (6) z=l=2,5м и заменяя r и n их значе­ниями (3), определим скорость груза в точке B ( , число ).


и


2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью ( ). Изображаем груз (в произвольном положении) и действую­щие на него силы и . Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх.




или


(8)

где . Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как получим 0=N-mgcosa, откуда N=mgcosa. Следовательно, ; кроме того, и уравнение (8) примет вид:



(9)

Разделив обе части равенства на т, вычислим ; 16/m=8 и подставим эти значе­ния в равенство (9). Тогда получим



(10)

У
(11)
множив обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем





Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке ^ В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 , где дается равенством (7). Подставляя эти величины в равенство (11), получим


(12)




При найденном значении С2 уравнение (11) дает





Умножив обе части на dt и снова интегрируя, найдем



(13)

Т
(14)
ак как при t=0 х=0, то С₃=0 и окончательно искомый закон движения груза будет