Теоретические основы электротехники 12 вариант. ТЭО. Задача Линейные электрические цепи постоянного тока

• Название: Задача Линейные электрические цепи постоянного тока
• Анкор: Теоретические основы электротехники 12 вариант
• Дата: 28.05.2021
• Размер: 180.75 Kb.
• Имя файла: ТЭО.doc
• Тип: Задача; #210972

Задача 1.Линейные электрические цепи постоянного тока.

Для электрической схемы выполнить следующее:

1. Упростить схему, заменив последовательно и параллельно соединенные резисторы четвертой и шестой ветвей эквивалентными. Заменить источник тока эквивалентным ЭДС.

2. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.

4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

5. Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.

6. Составить баланс и подсчитать баланс мощностей.

7. Определить ток I₁ в заданной схеме с источником тока, используя метод генератора.

8. Начертить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего все ЭДС.

Дано: рис.1.1, R₁ =6,5 Ом; R₂ = 2,5 Ом; R₃ = 1Ом; R₄'= 4 Ом; R₄''= 0 Ом;

R₅ = 5,5 Ом; R₆'= 10 Ом; R₆''= 30 Ом; Е₂ = 5 В; Е₃ = 10 В; І_к2 = 0,4 А; І _к3 = 0 А.



Решение.

1. Здесь Е_k2= I_k2 R₂ = 0,4 · 2,5 = 1 В.

Идеальный источник тока I_k3 исключим из схемы, т.к. I_k3 = 0.

Заменим последовательно и параллельно соединенные резисторы четвертой и шестой ветвей эквивалентными.

R₄ = R₄' + R₄''= 4 + 0 = 4 Ом;

R₆ =

После упрощения схема будет иметь вид, изображенный на рис.1.1.1



Рисунок 1.1.1.

2. Определим количество ветвей В, электрических узлов У. Для схемы, приведенной на рис.1.1.1, имеем: шесть ветвей (В=6); четыре узла (У=4). Количество независимых контуров: К = В – (У–1)=3. Дальше произвольно задаемся направлениями действия токов в ветвях (I₁–I₆). При решении задачи по методу законов Кирхгофа для цепи составляем систему из 6 уравнений. При этом n₁= (У –1) = 3 уравнения составляем по первому, и n₂ = =К = 3 уравнения – по второму закону Кирхгофа. Общее количество n = n₁+ n₂ = 3+3 = 6.


І₁ + І₄ – І₆ = 0 – для узла a;

І₂ – І₄ – І₅ = 0 – для узла b;

І₃ + І₅ + І₆ = 0 – для узла c;

– R₁ І₁ + R₂ І₂ + R₄ І₄ = Е₂ + Е_2k– для контура I;

– R₁ І₁+ R₃І₃ – R₆ І₆ = Е₃ – для контура II;

R₄І₄ – R₅І₅ + R₆ І₆ = 0 – для контура III.

3. Решаем задачу методом контурных токов. Произвольно задаемся направлениями действия токов I_I, I_II, I_III в независимых контурах (направлениями обхода контуров) и составляем систему из К = В – (У–1)=3 уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом токи в ветвях, которые являются общими для двух контуров, определяем как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов.

Система уравнений для контуров расчетной схемы имеет следующий вид:

(R₁ + R₂+ R₄)І_I + R₁І_II – R₄ І_III = Е₂ + Е_2k;

R₁І_I + (R₁ + R₃ + R₆)І_II + R₆І_III = Е₃;

– R₄ І_I + R₆І_II + (R₄+ R₅ + R₆)І_III = 0.

После подстановки значений R₁...R₆, E₂, E₃ и решение системы относительно токов (А) в ветвях цепи получим:

13І_I + 6,5І_II – 4І_III = 6;

6,5І_I + 15І_II + 7,5І_III = 10;

– 4І_I + 7,5І_II + 17 І_III = 0.

І_I = – 0,1722; І_II = 0,9771; І_III = – 0,4716.

Токи (А) в ветвях, которые принадлежат одному контуру, равняются соответствующим контурным токам:

І₂ = І_I = – 0,1722; І₃ = І_II = 0,9771; І₅ = І_III = – 0,4716.

Токи (А) в ветвях, которые являются общими для двух контуров, определяем по первому закону Кирхгофа:

І₁ = – ( І_I + І_II) = 0,1722 – 0,9771= –0,8049;

І₄ = І_I – І_III = – 0,1722 + 0,4716 = 0,2994;

І₆ = – (І_II + І_III ) = – 0,9771 + 0,4716 = – 0,5055.

4. Находим токи ветвей цепи методом узловых потенциалов.



Рисунок 1.1.2.

Используем схему рис.1.1.2. За нулевой потенциал обозначим φ_d = 0.

Составим уравнения для остальных 3-х узлов:

φ_a ∙ (g₁ + g₄+ g₆) – φ_b ∙ g₄ – φ_c ∙ g₆ = 0;

– φ_a ∙ g₄ + φ_b∙ (g₂ + g₄ + g₅) – φ_c ∙ g₅ = (Е₂−Е_2k ) ∙ g₂;

– φ_a ∙ g₆ – φ_b ∙ g₇ + φ_c ∙ (g₃ + g₅ + g₆) = Е₃∙ g₃ ,

где g₁ = 1/R₁ = 0,1538 См; g₂ = 1/R₂ = 0,4 См; g₃ = 1/R₃ = 1 См ;

g₄ = 1/R₄ = 0,25 См ; g ₅ = 1/R₅ = 0,1818 См ; g₆ = 1/R₆ = 0,1333 См.

Решая систему относительно потенциалов (В) цепи, получим:

0,5371φ_a – 0,25φ_b – 0,1333 φ_c = 0;

– 0,25 φ_a + 0,8318φ_b – 0,1818 φ_c= 2,4;

– 0,1333 φ_a – 0,1818 φ_b + 1,3151φ_c = 10.

Систему уравнений решим при помощи программы решения системы уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента.

φ_a = 5,2332 B; φ_b = 6,4309 B; φ_c = 9,0234B.

Рассчитываем токи в ветвях:

I₁ = (φ_d – φ_a ) ∙ g₁ = (0 – 5,2332 ) ∙ 0,1538 = – 0,8049 A;

I₂ = (φ_d – φ_b + E₂ – E_2k) ∙ g₂ = (0 – 6,4309 + 6) ∙ 0,4 = – 0,1724 A;

I₃ = (φ_d – φ_c + E₃ ) ∙ g₃ = (0 – 9,0234+ 10) ∙ 1 = 0,9766 A;

I₄ = (φ_b – φ_a) ∙ g₄ = (6,4309 – 5,2332 ) ∙ 0,25 = 0,2994A;

I₅ = (φ_b– φ_c) ∙ g₅ = (6,4309 – 9,0234) ∙ 0,1818 = – 0,4713 A;

I₆ = (φ_a – φ_c) ∙ g₆ = (5,2332 – 9,0234) ∙ 0,1333 = – 0,5052 A.

5. Результаты расчета вышеприведённой электрической схемы сведены в таблицу

Токи	I1, А	I2, А	I3, А	I4, А	I5, А	I6, А
Метод контурных токов	0,8049	0,1722	0,9771	0,2994	0,4716	0,5055
Метод узловых потенциалов	0,8049	0,1724	0,9766	0,2994	0,4713	0,5052

6. Баланс мощностей (Вт) источников P_ист и потребителей P_потр цепи составляем на основании закона Джоуля–Ленца.

Мощность, развиваемая источниками:

 Р_ист = (E₂ − Е_2k) ∙І₂ + E₃ ∙І₃ = – 6 ∙ 0,1722 + 10 ∙ 0,9771 = 8,7378 Вт.

Мощность, потребляемая потребителями:

 Р_потр = I₁² ·R₁+ I₂² ·R₂ + I₃² ·R₃ + I₄² ·R₄+ I₅² ·R₅ + I₆² ·R₆ = 0,8049²· 6,5 +

+ 0,1722²· 2,5+ 0,9771²· 1 + 0,2994²·4 + 0,4716²·5,5 + 0,5055²·7,5= 8,73824 Вт.

 Р_ист  Р_потр

7. Ток в резисторе R₁ методом эквивалентного генератора найдем, рассмотрев схему с обрывом в его цепи. Используя метод эквивалентного источника, выделяем ветвь «ad», а всю остальную часть схемы рассматриваем как активный двухполюсник. Для определения параметров этого двухполюсника разомкнем ветвь «ad», (режим ХХ) и найдем напряжение U_Х = U_ad.



Рисунок 1.1.3.

Для нахождения U_Х найдем токи в ветвях этой схемы методом контурных токов.

Для этого выберем произвольно направления токов в ветвях схемы и направления контурных токов.

(R₂ + R₃ + R₄ + R₆ )І_I + (R₄ + R₆) І_II = Е₂ – Е_2k – Е₃;

(R₄ + R₆) І₁ + (R₄+ R₅ + R₆) І_II = 0 .

Подставим числовые значения

15І_I + 11,5І_II = 16;

11,5І_I + 17І_II = 0.

Решим систему относительно токов (А) в ветвях цепи получим:



Ток (А) в ветви, который принадлежат одному контуру, равняется соответствующим контурным токам:

І_2х = І_I = 2,2161.

Ток (А) в ветви , который является общим для двух контуров, определяем по первому закону Кирхгофа:

І_4х = І_I + І_II = 2,2161 – 1,4991 = 0,717

Найдем



Входное сопротивление двухполюсника относительно выводов «ad» определяется при устранении из схемы активного двухполюсника всех источников (ветви с источниками тока разрываются, а источники ЭДС в ветвях закорачиваются).

Представим схему заменив соединение треугольником резисторов R₄, R₅ и R₆ на эквивалентное сопротивление звездой R_а, R_b и R_c.



Рисунок 1.1.4.

Ом;

Ом;

Ом.

Тогда



Окончательная расчетная схема имеет вид одноконтурной цепи, включающей эквивалентный источник с ЭДС Е_ЭК и внутренним сопротивлением R_ЭК, заменяющий активный двухполюсник.

А.



Рисунок 1.1.5.

8. Построим потенциальную диаграмму для контура, содержащего две ЭДС.



Рисунок 1.1.6.

Примем V_a = 0.

V_b = V_a + R₄∙I₄ = 0 + 4∙0,2994= 1,198 В;

V_m = V_b – Е₂ = 1,198 – 7 = – 5,802 В;

V_d = V_m + R_R2 ∙I₂ = – 5,802 + 2,5∙0,228 = – 5,232 В;

V_n = V_d – R₃ ∙I₃ = – 5,232 –1 · 0,977 = – 6,209 В;

V_c = V_n + Е₂ = – 6,209 + 10 = 3,791 В;

V_a = V_c + R₆∙I₆ = 3,791 – 7,5∙0,5055 ≈ 0 В.

Построим потенциальную диаграмму.


Рисунок 1.1.7.

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования
Иркутский НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

технический университет

Межрегиональный центр повышения квалификации
Допускаю к защите

Руководитель_______________

/В.В. Потапов/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине:
«Теоретические основы электротехники»
Вариант 2

Выполнил студент группы: ЭПпкбз – 20 ___________ О.А. Костюк

Нормоконтроль ___________ В.В. Потапов

Отметка о защите контрольной работы: _____________________

Иркутск 2021 г.