ЛАиФНП_РК2 БИЛЕТЫ. Задача На гиперболическом параболоиде xy xy 2z 5 0 найти точку, наименее удалённую от точки O(0, 0, 0)
 Скачать 181.23 Kb.
|
|
ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 1 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение открытой окрестности и открытого множества в R n 2. Записать формулы для вычисления частных производных неявной функции z(x, y), заданной уравнением F (x, y, z) = 0. 3. Сформулировать необходимые условия экстремума ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти x 3 + y 3 + z 3 = 5xyz в точке (2, 1, 1). 5. Исследовать на экстремум функцию z = 4y 3 + 2xy + x 2 + 3 6. Исследовать на экстремум функцию z = 1/x + 1/y при условии 1 x 2 + 1 y 2 = 1 4 Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Доказать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП. Задача 8. На гиперболическом параболоиде xy +x+y −2z −5 = 0 найти точку, наименее удалённую от точки O(0, 0, 0). ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 2 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение предельной точки, граничной точки множества, и замкнутого множества в R n 2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направле- нию. 3. Сформулировать достаточные условия экстремума ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти z = y + ln x z в точке (1, 1, 1). 5. Исследовать на экстремум функцию z = −11x 2 + 16xy − 6y 2 + 60x − −44y. 6. Исследовать на экстремум функцию z = 4x 2 + 9y 2 − 10 при условии xy = 3 2 Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП. Задача 8. Среди касательных плоскостей к эллипсоиду x 2 3 + y 2 12 + z 2 27 = 1 найти ту, которая отсекает от положительного октанта x > 0, y > 0, z > 0 тетраэдр наименьшего объёма. ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 3 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение ограниченного и связного множества в R n 2. Перечислить основные свойства градиента ФНП. 3. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти xy + e xz = 0 в точке (5, −1/5, 0). 5. Исследовать на экстремум функцию z = x 3 + y 3 + xy + 2 6. Исследовать на экстремум функцию z = e x − y при условии y − x = 5. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Доказать теорему о независимости смешанных частных производ- ных от порядка дифференцирования (для вторых производных функ- ции двух переменных). Задача 8. В каких точках поверхности xy + 2yz + 3zx + 6 = 0 касательная плоскость параллельна одной из координатных плоскостей? ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 4 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение предела ФНП по множеству и непрерывной ФНП. 2. Записать уравнения касательной и нормали к поверхности F (x, y, z) = 0 в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) 3. Сформулировать достаточные условия условного экстремума ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти z 3 + yz − xy 2 − x 3 = 0 в точке (1, 0, 1). 5. Исследовать на экстремум функцию z = 3 ln x + 4 ln y − xy − x − y. 6. Исследовать на экстремум функцию z = xy при условии x 2 + y 2 = 6. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Вывести формулу для дифференцирования сложной ФНП (можно ограничиться случаем функции вида z = f(x(t), y(t))). Задача 8. Среди эллипсоидов x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1, проходящих через точку (1, √ 2, √ 3) найти тот, который имеет наимень- ший объём. ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 5 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение частной производной ФНП в точке. 2. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функции вида z = f(u(x, y), v(x, y)). 3. Сформулировать теорему о связи непрерывности и дифференциру- емости ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти e z − z + xy = 3 в точке (2, 1, 0). 5. Исследовать на экстремум функцию z = y √ x − x − y 2 + 6y 6. Исследовать на экстремум функцию z = 2x + √ 3y + 2 при условии x 2 − y 2 = 1. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Сформулировать теорему о неявной функции. Вывести формулы для частных производных неявной функции. Задача 8. На кривой x 2 − 2xy + y 2 − 2x − 7y + 19 = 0 найти точки, наименее удалённые от оси OX. ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 6 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение дифференцируемой ФНП в точке. 2. Записать формулу для вычисления производной сложной функции вида u = f(x(t), y(t), z(t)). 3. Сформулировать теорему о необходимых условиях дифференциру- емости ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти x 2 yz + 2x 2 z − 3xyz + 2 = 0 в точке (1, 0, −1). 5. Исследовать на экстремум функцию z = 2x 2 − 12xy + 17y 2 − 2y. 6. Исследовать на экстремум функцию z = 4 − x 2 − y 2 4 при условии xy = −2. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Вывести уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0. Задача 8. Найти те нормали к поверхности z 2 = x + y + 10 , которые проходят через точку O(0, 0, 0). ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 7 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП. 2. Записать формулы для вычисления частных производных неявной функции z(x, y), заданной уравнением F (x, y, z) = 0. 3. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируе- мости ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти z = x 4 + 2x 2 y − xy + x в точке (1, 0, 2). 5. Исследовать на экстремум функцию z = xy + 50 x + 20 y , x > 0, y > 0. 6. Исследовать на экстремум функцию z = 2y − x 2 при условии y 2 = 2x − 1. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Доказать теорему о независимости смешанных частных производ- ных от порядка дифференцирования (для вторых производных функ- ции двух переменных). Задача 8. На эллипсоиде x 2 4 + y 2 4 + z 2 8 = 1 найти точку, наиболее удалённую от точки (1, −1, 0). ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 8 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение второго дифференциала ФНП и матрицы Гессе. 2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направле- нию. 3. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируе- мости ФНП. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти 3x 4 − 4y 3 z + 4xyz 2 − 4xz 3 + 1 = 0 в точке (1, 1, 1). 5. Исследовать на экстремум функцию z = x 2 + xy + y 2 − 3x − 6y. 6. Исследовать на экстремум функцию z = x 2 + y 2 при условии 2x 2 + y 2 = 4. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Вывести формулу для дифференцирования сложной ФНП (можно ограничиться случаем функции вида z = f(x(t), y(t))). Задача 8. Среди касательных плоскостей к поверхности 2 x + 3 y + 5 z = 1, x > 0, y > 0, z > 0, найти ту, которая отсекает от положительного октанта x > 0, y > 0, z > 0 тетраэдр наименьшего объёма. ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 9 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение градиента ФНП и производной ФНП по направ- лению. 2. Записать уравнения касательной и нормали к поверхности F (x, y, z) = 0 в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) 3. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных про- изводных от порядка дифференцирования. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти x 2 + 2y 2 − 3z 2 + xy + yz − 2xz + 16 = 0 в точке (1, 2, 3). 5. Исследовать на экстремум функцию z = x 3 + 3y 2 − 2x 2 − 4y. 6. Исследовать на экстремум функцию z = x + 2y при условии x 2 + 3y 2 = 21. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Доказать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП. Задача 8. Найти такие a, b, c, чтобы эллипсоид x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 касался плоскости 7x + 3y + z = 21 в точке (2, 2, 1). ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 10 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение (обычного) экстремума (локального максимума и минимума) ФНП. 2. Перечислить основные свойства градиента ФНП. 3. Сформулировать теорему о необходимых и достаточных условиях того, чтобы выражение P (x, y) dx + Q(x, y) dy было полным диффе- ренциалом. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти (z 2 − x 2 )xyz − y 5 = 5 в точке (1, 1, 2). 5. Исследовать на экстремум функцию z = x 3 + 8y 3 − 6xy + 1. 6. Исследовать на экстремум функцию z = e x −y при условии x 2 + y 2 = 2. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП. Задача 8. Среди эллипсоидов x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1, проходящих через точку ( √ 7, √ 5, √ 3) найти тот, который имеет наи- меньший объём. ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 11 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение условного экстремума ФНП. 2. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функции вида z = f(u(x, y), v(x, y)). 3. Сформулировать теорему о неявной функции. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти √x + y − z = e x −2y+z в точке (2, 3, 4). 5. Исследовать на экстремум функцию z = x 3 + y 3 − 15xy. 6. Исследовать на экстремум функцию z = x 2 4 + y 2 при условии xy = 2. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Вывести уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0. Задача 8. На кривой 3x 2 + 4xy + 3y 2 = 15 найти точки, наиболее удалённые от оси OX. ФНП, РК2; для ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2016-2017 уч. год Билет 12 Часть А необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач; оценка 20 баллов Теория 1. Дать определение функции Лагранжа и множителей Лагранжа за- дачи на условный экстремум ФНП. 2. Записать формулу для вычисления производной сложной функции вида u = f(x(t), y(t), z(t)). 3. Сформулировать теорему Тейлора для функции двух переменных. Задачи 4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти 2 x/z + 2 y/z = 8 в точке (2, 2, 1). 5. Исследовать на экстремум функцию z = 2x 3 + y 3 − 6xy. 6. Исследовать на экстремум функцию z = x 2 + y 2 − 5 при условии xy = 1. Часть Б засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить задачу; оценка 4–12 баллов Теория 7. Сформулировать теорему о неявной функции. Вывести формулы для частных производных неявной функции. Задача 8. Найти те нормали к поверхности x 2 + y 2 = 5z , которые проходят через точку (3, 9, −3). |