Задание 1 Даны комплексные числа Найти z в алгебраической форме. Упростим дробное выражение, умножив и числитель, и знаменатель на сопряженное знаменателя где Упростим комплексное число Возводим в квадрат по формуле где Ответ Задание 2

• Название: Задание 1 Даны комплексные числа Найти z в алгебраической форме. Упростим дробное выражение, умножив и числитель, и знаменатель на сопряженное знаменателя где Упростим комплексное число Возводим в квадрат по формуле где Ответ Задание 2
• Дата: 02.04.2023
• Размер: 47.3 Kb.
• Имя файла: Terentev_matan.docx
• Тип: Документы; #1031216

Задание 1

Даны комплексные числа: ;

Найти z = в алгебраической форме.

Упростим дробное выражение, умножив и числитель, и знаменатель на сопряженное знаменателя:





где



Упростим комплексное число



Возводим в квадрат по формуле



где





Ответ:

Задание 2

Дано число z = .

а) найти тригонометрическую форму числа z;

Действительная часть числа х.



Мнимая часть числа y:



Модуль комплексного числа |z|



Поскольку находим как:

=



Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z =

)

б) найти z²⁰;

Действительная часть числа х.



Мнимая часть числа у.



Модуль комплексного числа |z|

|z| = =

Поскольку находим как:





Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа



Находим показательную форму комплексного числа



в) найти ;





|z| =

Поскольку находим как:

=



Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа



Извлекаем корни по формуле:









или



или









или



или









или



или



Задание 3

Вычислить определенные интегралы:

а)

Применим линейность:

Далее вычисляем , интеграл от степенной функции: (n = 3)

Теперь вычисляем: (n = ) =

Далее вычисляем: = х

Подставим уже вычисленные интегралы:

Ответ:

б)

Используем свойство дистрибутивности:

Применим линейность:

Теперь вычисляем:

Далее вычисляем:

Подставим уже вычисленные интегралы:

Ответ:

в)

Используем свойство дистрибутивности:

Применим линейность:

Далее вычисляем: =

Интеграл от степенной функции:

Обратная замена:

Теперь вычисляем: = , табличный интеграл =

Подставим вычисленные интегралы: =

Задача решена: =

Упростим:

Ответ:

г) =

Теперь вычисляем:

Применим линейность:

Следующим вычислим: =

Теперь вычисляем: =

Следующим пунктом вычислим: =



Интеграл от экспоненциальной функции: =

Подставим уже вычисленные интегралы:

Обратная замена ;

Подставим уже вычисленные интегралы:





Задача решена:



Упростим:



Ответ:

Задание 4

Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:



Для начала представим исходное дифференциальное уравнение в виде:



Интегрируя обе части, получаем:



Степень числителя Р(х) больше или равна степени знаменателя Q(x), поэтому разделим полиномы:



Интегрируя целую часть, получаем:



Интегрируя далее, получаем:



Отсюда ответ:





Степень числителя Р(у) больше или равна степени знаменателя Q(y) поэтому разделим полиномы.



Интегрируя целую часть, получаем:

Интегрируя далее, получаем: =

Ответ:

Задание 5

Решить однородное уравнение:

Дано уравнение:



Возведем обе части уравнения во 2-ую степень:





Теперь перенесем правую часть уравнения в левую часть со знаком минус:



Это уравнение вида:

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

Корнями квадратного уравнения будут:

y₁ =

y₂ =

D = = это дискриминант. Т. к.

то,

Уравнение имеет два корня:

y₁ =

y₂ =

Задание 6

Решить линейное дифференциальное уравнение:

Дано уравнение:

Это дифференциальное уравнение имеет вид:

где



и



Линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:

Для начала решаем линейное однородное уравнение:



с разделяющимися переменными. Данное уравнение решается по шагам:

– из этого уравнения получаем



при y не равным 0





Или,



Поэтому,





Из выражения видно, что надо найти интеграл:



Т.к.



то





Значит решение однородного линейного уравнения:





что соответствует решению с любой константой С, не равной нулю:



Таким образом мы нашли решение соответствующего однородного уравнения

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение:



Используем метод вариации произвольной постоянной. Теперь считаем, что С – функция от х:



И подставим в наше исходное уравнение. Воспользовавшись правилами:

• 
  дифференцирования произведения;
  
• 
  производной сложной функции,
  

находим, что



Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.

Получим простейшее дифференциальное уравнение для C(x):



Значит, C(x)



подставим C(x) в



и получим окончательный ответ для y(x):



Ответ:

Задание 8

Решить дифференциальное уравнение:

a)

Это дифференциальное уравнение имеет вид:

Где

Это дифференциалньое уравнение 2-го порядка. Сначала мы найдем корни характеристического уравнения:

В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

Корни этого уравнения:

Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня, то решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:



Получаем окончательный ответ:



б)

Это дифференциальное уравнение, которое имеет вид:

Где

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Сперва решаем линейное однородное уравнение:



Ищем корни характеристического уравнения:



В нашем случае уравнение будет иметь вид:



Корни этого уравнения:

Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня, то решение соотвтетсующего диффференциального уравнения имеет вид:



По итогу получаем:



в)

Это дифференциальное уравнение имеет вид:

Где

Это дифференциалньое уравнение 2-го порядка. Сначала мы найдем корни характеристического уравнения:

В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

Корни этого уравнения:

Т.к. характеристическое уравнение имеет один корень, то решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:



Подставляем: k₁ = 4

Получаем окончательный ответ:

Задание 9

Решить дифференциальное уравнение:

Это дифференциальное уравнение имеет вид:



Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.



Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения



В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:



Простое квадратное уравнение. Корень этого уравнения:

Т.к. корень уравнения один, то решения дифференциального уравнения имеет вид:



Подставляем:

Теперь надо решить наше неоднородное уравнение



Используем метод вариации произвольной постоянной. Считаем, что С₁ и С₂ – это функции от х.

Общим решением будет:

где С₁(х) и С₂(х), согласно методу вариации постоянных найдем из системы:





где

y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые частные решения ЛОДУ,





А свободный член

Значит, система примет вид:





или





Решаем эту систему:



– это простые дифференциальные уравнения, теперь решаем их:

С₁(х) =

С₂(х) =

или





Подставляем найденные С₁(х) и C₂(x) в

y(x) = xC₂(x)e^x + C₁(x)e^x

Получаем окончательный ответ:

Задание 10

Решить дифференциальное уравнение:

Это дифференциальное уравнение, которое имеет вид:

Где

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Для начала решим подобное линейное однородное уравнение:



Ищем корни характеристического уравнения:



Уравнение в нашем случае будет иметь вид:

– это простое квадратное уравнение, корнем этого уравнения будет являться =

Т.к. корень характеристического уравнения один, то решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь вид:



Теперь надо решить наше неоднородное уравнение:



Используем метод вариации произвольной постоянной. Считаем, что С1 и С2 – это функции от х.

Общим решением будет: y(x) = xC₂(x)e^-2x + C₁(x)e^-2x

Где С1(х) и С2(х) согласно методу вариации постоянных найдем из системы:





где y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые частный решения ЛОДУ,





Свободный член

Значит система примет вид:



или





Решаем эту систему:





— это простые дифференциальные уравнения, решаем их:





или





Подставляем найденные С₁(х) и С₂(х) в



Получаем окончательный ответ:

Где С₃ и С₄ – константы.