Логические законы и правила преобразования логических выражений. логические законы. Закон тождества а а закон непротиворечия А&A0

• Название: Закон тождества а а закон непротиворечия А&A0
• Анкор: Логические законы и правила преобразования логических выражений
• Дата: 09.03.2022
• Размер: 498.5 Kb.
• Имя файла: логические законы.ppt
• Тип: Закон; #388845

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Основные законы формальной логики

Закон тождества
А = А
Закон непротиворечия
А&A=0
Закон исключения третьего
АА=1
Закон двойного отрицания
А=А


В процессе рассуждения нельзя подменять одно понятие другим
Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание
Высказывание может быть либо истинным либо ложным, третьего не дано
Если отрицать дважды некоторое суждение, то получается исходное суждение

Свойства констант

0=1 1=0
А0=А А&0=0
А1=1 А&1=А

Законы алгебры логики

Идемпотентность
АА=А А&А=А
Коммутативность
А  В=В  А А&В=В&А
Ассоциативность
А  (В  С)= (А  В)  С
А &(В & С)= (А & В) &С

Законы алгебры логики

Дистрибутивность
А  (В & С)= (А  В) &(A С)
А & (В  С)= (А & В) (A&С)
Поглощение
А  (А & В)=А А & (А  В)=А
Законы де Моргана
(А В)=  А&В (А &В)=  А  В

Огастес де МОРГАН

Огастес де МОРГАН





Морган Огастес (Августус) де (27.6.1806-18.3. 1871) - шотландский математик и логик. Секретарь Королевcкого астрономического общества (1847г.), член Лондонского королевского общества. Первый президент Лондонского математического общества. Родился в Мадуре (Индия). Учился в Тринити-колледж (в Кембридже). Профессор математики в университетском колледже в Лондоне. Основные труды по алгебре, математическому анализу и математической логике. В теории рядов описал логарифмическую шкалу для критериев сходимости; занимался теорией расходящихся рядов. Один из основателей формальной алгебры. Продолжая работы Дж. Пикока, Морган в 1841-1847 гг. опубликовал ряд работ по основам алгебры. В трактате "Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных" (1847г.), Морган некоторыми своими положениями опередил Дж. Буля. Позднее Морган успешно изучал логику отношений - область, не охваченную исследованиями предшественников. Написал много исторических работ, в частности книгу "Бюджет парадоксов" (1872г.). Большой вклад внес также в дедуктивную логику вообще и математическую в частности. Лондонское математическое общество учредило медаль им. О. Моргана.

Правила замены операций

Импликации
А В = А  B А В =  B A
Эквивалентности
АВ = (А&B)  (A& B)
АВ = (А   B)  (A  B)
АВ = (А  B) & (B  A)

Упрощение сложных высказываний

- это замена их на равносильные на основе законов алгебры высказываний с с целью получения высказываний более простой формы

Основные приемы замены

X=X1 
X=X0 
1=А  А
0=В   В
Z=Z Z  Z
C=C C  C
Е=  Е


По свойствам констант
По закону исключения третьего
По закону непротиворечия
- По закону идемпотентности
- По закону двойного отрицания

Пример

Упростить: А В  А   В


По закону дистрибутивности вынесем А за скобки


А  В  А   В=


А  1=


А


А (В   В)=


Упростить: (А  В )& (А   В)


Упростить: ( X   Y )





Задание 2. Упростите логическое выражение
F= (A v B)→ (B v C).


Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (¬(A→B)=A& ¬ B). Получится: ¬((AvB)→ ¬(BvC))= (AvB)& ¬ (¬(BvC)).
Применим закон двойного отрицания, получим: (A v В) & ¬(¬(В v С)) = (A v В) & (B v С).
Применим правило дистрибутивности ((A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C)). Получим: (AvВ)& (B v С)= (AvB)&Bv(AvB)&C
Применим закон коммутативности (A&B=B&A ) и дистрибутивности (16). Получим: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.
Применим (А& A= A) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C= A&BvBvA&CvB&C
Применим ((A&B) v(A&C) = A&(BvC) ), т.е. вынесем за скобки В. Получим:A&BvBvA&CvB&C= B& (Av1)vA&CvB&C.
Применим (Аv 1= 1 ). Получим:B& (Av1) vA&CvB&C= BvA&CvB&C.
Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим:BvA&CvB&C = B& (1vC)vA&C.
Применим (Аv 1= 1 ) и получим ответ: B&(1vC)vA&C=BvA&C.





Закрепление изученного
№1.
Упростите выражение:
F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC).
F = (A→B) v (B→A).
F = A&CvĀ&C.
F =AvBvCvAvBvC


№2
Упростите выражение:
F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)).
F = X&¬ (YvX).
F = (XvZ) & (XvZ) & (YvZ).





Ответы к № 2:
F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)) = 0.
F = X&¬ (YvX) = X&Y.
F = (XvZ) & (XvZ) & (YvZ) =X&(YvZ).


Ответы к № 1:
F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC) =AvB.
F= (A→B) v (B→A) = 1.
F = A&CvĀ&C=C.
F =AvBvCvAvBvC=1.





ДОМАШНЯЯ РАБОТА


Упростите логические выражения:
Х&X&1
F= не (Х и (не Х и не Y))
F= B&(AvA&B)
0&Xv0
F= не Х или (не (Х и Yи не Y))
F= (AvC)&(AvC)&(BvC)
0vX&1
F= не Х и (не(неY или Х))
F=A&B v A&Bv A&BvB&C


: - ) - радостное лицо
: - ( - грустное лицо
; - ) - подмигивающая улыбка
: 0 ) - клоун
8:-) - маленькая девочка