Практическое занятие 1. Занятие 1 Алгебраические методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Определители
 Скачать 481.17 Kb.
|
|
Практическое занятие №1 Алгебраические методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 1. Определители. Определитель это число, записанное в виде таблицы и вычисляемое по специальным формулам. Вычисляются определители по следующим формулам: . Примеры. 1. 3. Определитель 3 порядка вычисляется с помощью правила треугольников Для получения более удобной формулы вычисления определителей введем новые понятия. – минор элемента есть определитель, который получается из исходного определителя вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j, где стоит элемент – алгебраическое дополнение элемента вычисляется по формуле Введенные понятия позволяют получить более удобную формулу для вычисления определителей 3-го и более высоких порядков Здесь Приведенная формула получена разложением по первой строке. Верхние индексы в определителе определяют знак алгебраического дополнения. Формула остается справедливой, если разложение записывается для любой строки или любого столбца определителя. Формула доказывается сравнением с определителем, вычисленным по правилу треугольников. С помощью правила треугольников доказывается еще одна дополнительная формула. Если определитель разложить "неправильно", т.е. элементы одной строки (столбца) умножить на соответствующие алгебраические дополнения элементов, но другой строки (столбца) и полученные произведения сложить, то Здесь взяты элементы 1 столбца и алгебраические дополнения 2 столбца. Примеры. 1. =2(15-8)+(-10)+3(-4)=14-10-12=-8 1. −28+20=-8. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера Пример. 1. =33, =33, =33, 33, Ответ: Матрицы. Матрица это прямоугольная таблица. Общий случай матрицы. у этой матрицы m строк и n столбцов. Например у этой матрицы 2 строки и 3 столбца. В общем виде матрицы также обозначаются . Нижние индексы показывают, что у матрицы m строк n столбцов. Если в матрице число строк равно числу столбцов (m=n) матрица называется квадратной. Для квадратной матрицы можно вычислить определитель Например, если , то Если определитель отличен от нуля матрица называется невырожденной. Линейные операции с матрицами. 1. Матрицу можно умножать на число 2. Матрицы можно складывать. Пусть даны две матрицы одинаковой размерности , B тогда операция сложения следующая 3. Следствием этих операций является вычитание матриц Примеры. 1. Вычислить 5A, если 2. Найти если 3. Найти если -3B Умножение матриц Пусть даны две матрицы согласованной размерности , B число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице B , тогда и B перемножаются по следующему правилу т.е. i-я строка умножается j-й столбец. Это возможно, поскольку число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице B. В результате получается матрица размерности Например, Примеры. 1. Найти если В результате получается матрица размерности 1 2. Найти если В результате получается матрица размерности 3 3. Вычислить и , если Произведение матриц не коммутативно. Решить дома. Клетеник А.В. Сборник задач по аналитической геометрии. 1204(2,8), 1211, 1239. 1. Найти , если 2. Вычислить и взяв матрицы из предыдущего примера. Обратная матрица Операции деления матриц не существует, но по аналогии с действительными числами операцию деления можно заменить операцией умножения на обратную величину. Квадратная матрица вида называется единичной. В матричном умножении она выполняет туже роль, что и 1 при умножении чисел AE=EA=A. Квадратная матрица имеет обратную матрицу , если Для вычисления обратной матрицы справедлива следующая формула: Здесь – определитель матрицы A, – алгебраические дополнения элементов матрицы A. Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным способом. Запишем систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме. Введем следующие матрицы A – матрица коэффициентов системы; B – матрица свободных членов (матрица-столбец) системы; X – матрица-столбец неизвестных системы. Тогда система запишется в виде матричного уравнения AX=B. Умножая обе части уравнения на , получим решение = Пример. Решить систему матричным способом Находим обратную матрицу. Сначала вычисляем = =33. Вычисляем алгебраические дополнения Тогда Записываем решение по формуле X= Ответ: x=1, y=1, z=1. |