Моделирование. 11-2_Моделирование. Модели и моделирование Системный подход в моделировании Этапы моделирования
 Скачать 5 Mb.
|
II. Разработка моделиСпортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень? Мишень расположена на высоте 4 м на расстоянии 10 м от Васи. В момент броска мяч находится на высоте 2 м от земли. 1) Определить существенные исходные данные. мяч и мишень — материальные точки мишень неподвижна сопротивление воздуха не учитывается. 2) Выбор типа модели. Можно использовать несколько моделей! ! II. Разработка моделиГрафическая модель 4 м 2 м 3) Формальная (математическая) модель , Задача: найти t и , такие что Уточнение диапазона угловДиапазон углов для поиска: II. Разработка модели4) Алгоритм моделирования Метод I.
Метод II. Из первого равенства выражаем время полета: Меняем угол . Для выбранного угла считаем t, а затем – значение y при этом t. Если оно больше H, уменьшаем угол, если меньше – увеличиваем. не надо строить всю траекторию для каждого II. Разработка модели5) Компьютерная модель программа (Паскаль, Си, …) электронные таблицы (Excel, OpenOffice.org Calc) среды моделирования (Simulink, VisSim) III. Тестирование моделиТестирование – это проверка модели на простых исходных данных с известным результатом. а) тестирование математической модели: • при t = 0 x = 0, y = 0 (в начале координат) • при v0 = 0 x = 0, (падение вниз) • при = 90 x = 0 • при увеличении t парабола «загибается» вниз б) тестирование компьютерной модели: (пробные расчёты в рассмотренных условиях) Доказывает ли успешное тестирование правильность модели? ? IV. Эксперимент с модельюЭксперимент – это исследование модели при тех исходных данных, которые нас интересуют (результат заранее неизвестен). задаём угол находим время находим высоту Диапазон углов для поиска: Можно ли сразу использовать двоичный поиск? ? y < H Как отделить два решения? ? построить график y() Может быть два решения! ! V. Анализ результатов экспериментаВозможные выводы:
необходимо изменить постановку задачи Необходима проверка на оригинале! ! V. Анализ результатоввсегда ли Вася сможет попасть в мишень? если начальная скорость отличается от заданной? если мяч и мишень не считать материальными точками? как сильно влияет сопротивление воздуха? если мишень качается? и т.д…. Моделирование§ 9. Моделирование движения Задачавверх вниз найти hmax найти v при приземлении Какой тип движения? ? плотность воздуха площадь сечения шар: С = 0,4 кг/м3 равномерное? равноускоренное? не меняется! Какая ещё сила? ? Математическая модельВ проекции на ось OY: всегда противоположна v Силы меняются ускорение меняется! ! Методы решения: аналитический (высшая математика) численное моделирование ДискретизацияДискретная модель описывает состояние системы при шаг дискретизации Задача: зная (yi, vi, ai) при ti = i найти (yi+1, vi+1, ai+1) при ti+1 = (i+1) Допущение: силы (и ускорение) не меняются на интервале [ti, ti+1] Вычисления: Компьютерная модельt:= 0; v:= v0; y:= 0 k:= ro*C*S/2 нц пока y >= 0 F:= - k*abs(v)*v | сила сопротивления a:= - g + F/m | ускорение y:= y + v*delta + a*delta*delta/2 | координата v:= v + a*delta | скорость t:= t + delta | время кц Как найти hmax? ? если y > h то h:= y все Моделирование§ 10. Математические модели в биологии Модель неограниченного роста (Т. Мальтус)– начальная численность – численность через i периодов рождаемость смертность Особенности модели:
не учитывается влияние других видов на K Модель ограниченного роста (П. Ферхюльст)L – предельная численность животных Идеи:
при N=0 должно быть KL=K (начальное значение) при N=L должно быть KL=0 (достигнут предел) Модель адекватна, если ошибка < 10%! ! Модель с отловомрыбоводческое хозяйство, разведение пушных зверей, … отлов , прирост = отлову Какая будет численность? L? ? Сколько можно вылавливать? ? Модель «хищник-жертва»Модель – не-система: караси щуки Модель – система:
«эффект» пропорционален числу встреч численность уменьшается численность увеличивается вымирают без еды Модель «хищник-жертва»Хищники вымирают: Равновесие: караси щуки караси щуки Модель «хищник-жертва»Колебания: Обратная связьМодель неограниченного роста: популяция обратная связь популяция Модель ограниченного роста: СаморегуляцияСаморегуляция – это способность системы поддерживать свое внутреннее состояние за счет связей между элементами. гибель животных Саморегуляция только при малых отклонениях! ! обратная связь обратные связи жертвы хищники Моделирование§ 11. Системы массового обслуживания Системы массового обслуживания (СМО)СМО магазин, банк, служба ремонта, касса… заявки очередь каналы обслуживания обслуженные заявки заявки поступают через случайные интервалы время обслуживания – случайная величина Нужна вероятностная модель! ! Особенности: Модель работы банказа 1 минуту входит P клиентов время обслуживания T минут Сколько нужно касс? ? K – количество касс за 1 минуту входит от 0 до Pmax клиентов время обслуживания от Tmin до Tmax минут изменение числа клиентов в банке средняя длина очереди среднее время ожидания QiTi Допущение: распределение равномерное вошли за i-ую минуту обслужены за i-ую минуту Детерминированная модель: Вероятностная модель: Модель работы банкаКак найти Ri? ? K касс работают с одинаковой скоростью, но эта скорость меняется каждый интервал Ti – случайное время обслуживания (от Tmin до Tmax) обслужено за 1 интервал на 1 кассе 1/T, на всех кассах Задача: выбрать K так, чтобы среднее время ожидания было больше допустимого в течение не более 5% от полного времени моделирования. «плохие минуты»: допустимое время ожидания Допущение: Модель работы банкаK:= 2 | меняем количество касс Pmax:= 4 | макс. число входящих за 1 мин Tmin:= 1 | мин. время обслуживания Tmax:= 9 | макс. время обслуживания L:= 480 | период моделирования M:= 15 | допустимое время ожидания N:= 0 | сначала в банке никого нет count:= 0 | счетчик «плохих» минут Что выводить в результате? ? касс достаточно Сравнить с детерминированной моделью! ! Модель работы банка (КуМир)нц для i от 1 до L P:= irand(0,PMax) T:= rand(Tmin,Tmax) R:= int(K / T) N:= N + P - R если N < 0 то N:= 0 все dT:= N / K * T если dT > M то count:= count + 1 все кц Паскаль Модель работы банка (Паскаль)for i:=1 to L do begin P:= random(PMax); T:= Tmin + random*(Tmax - Tmin); R:= round(K / T); N:= N + P - R; if N < 0 then N:= 0; dT:= N / K * T; if dT > M then count:= count + 1 end; Уточнение моделиза 1 минуту входит от 0 до Pmax клиентов Допущение: распределение равномерное Распределение Пуассона: 0 15 10 5 P вероятность того, что P = k Pсреднее Получение из равномерного распределения: метод обратных функций Распределение Пуассона (КуМир)алг цел Poisson(цел Lam) нач вещ s, r, alpha; цел k r:= exp(-Lam); s:= r k:= 0 alpha:= rand(0,1) нц пока s < alpha k:= k + 1 r:= r * Lam / k s:= s + r кц знач:= k кон Распределение Пуассона (Паскаль)function Poisson(Lam: integer): integer; var s, r, alpha: real; k: integer; begin r:= exp(-Lam); s:= r; k:= 0; alpha:= random; while s < alpha do begin k:= k + 1; r:= r * Lam / k; s:= s + r end; Poisson:= k end; Конец фильмаПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д.т.н., учитель информатики ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург kpolyakov@mail.ru ЕРЕМИН Евгений Александрович к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь eremin@pspu.ac.ru Источники иллюстрацийwww.historicships.com www.amazon.co.uk www.supahcars.com physicon.ru www.laerdal.com biohimija.ru ecosafe.spbu.ru www.skyplaz.ru www.burpipe.ru www.garshin.ru www.thisnext.com 3dsdesign.ru en.wikipedia.org ru.wikipedia.org иллюстрации художников издательства «Бином» авторские материалы |