Инфа. Решение Сумма цифр числителя и знаменателя делится на 9, поэтому дробь сразу можно сократить на Получим 2244669 22455780
 Скачать 159.08 Kb.
|
|
САММАТ-2021 Решение задач 9 класса 2 вариант Задача №1. В некотором выпуклом 2021-угольнике провели все диагонали. Ока- залось, что если какие-то две диагонали пересекаются в некоторой точке, отличной от вершин многоугольника, то никакая другая диагональ не проходит через эту точку. Найти число точек пересечения диагоналей, отличных от вершин многоугольника. Решение: Выберем любые четыре вершины выпуклого 2021-угольника, тогда они определяют одну точку пересечения диагоналей, отличную от вершин многоугольни- ка. Значит, число точек пересечения диагоналей, отличных от вершин многоуголь- ника равно числу способов выбрать четыре различных вершины из 2021 вершины многоугольника, т.е. равно C 4 2021 = 2021·2020·2019·2018 1·2·3·4 = 693048969485. Ответ: 693048969485. Задача №2. Докажите справедливость следующего неравенства 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + · · · + 1 2021 2 < 1. Решение: 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + · · · + 1 2021 2 < 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + · · · + 1 2020 · 2021 = = 2 − 1 1 · 2 + 3 − 2 2 · 3 + · · · + 2021 − 2020 2020 · 2021 = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − · · · − 1 2021 = 1 − 1 2021 < 1. Задача №3. На какое максимальное число можно сократить дробь 20202021 20212020 ? Решение: Сумма цифр числителя и знаменателя делится на 9, поэтому дробь сразу можно сократить на 9. Получим: 2244669 22455780 Разность знаменателя и числителя равна 1111 = 101 · 11, где 101 и 11 — простые числа. Поэтому НОД(2244669; 22455780) = НОД(2244669; 1111). Но 2244669 не делится ни на 101, ни на 11. Поэтому дробь можно сократить только на 9. Ответ: дробь можно сократить только на 9. Задача №4. Найти все целые решения неравенства r 16x − 39 − x 2 18 ≤ 16x − 36 − x 2 18 Решение: ОДЗ: 16x−39−x 2 18 ≥ 0 ⇒ x 1,2 = 8 ± √ 64 − 39 ⇒ x 1 = 3, x 2 = 13 — являются решениями ⇒ x ∈ [3; 13] q 16x−39−x 2 18 ≤ 16x−36−x 2 18 ⇒ a ≤ a 2 , a ≥ 0 a ≤ a 2 ⇒ a(a − 1) ≥ 0 16x−39−x 2 18 ≥ 1 ⇒ x 2 − 16x + 57 ≤ 0 ⇒ x 1,2 = 8 ± √ 7 Ответ: 3, 6, 7, 8, 9, 10, 13. Задача №5. Известно, что квадратный трехчлен ax 2 + bx + c имеет действитель- ные корни. Имеет ли квадратный трехчлен a 5 x 2 + b 5 x + c 5 действительные корни? Ответ объясните. 1 Решение: Так как квадратный трехчлен ax 2 + bx + c имеет действительные корни, то b 2 ≥ 4ac ⇒ b 10 ≥ 4 5 a 5 c 5 . Рассмотрим 2 случая: 1) если ac < 0, то b 10 ≥ 0 > 4a 5 c 5 ⇒ b 10 ≥ 4a 5 c 5 ⇒ a 5 x 2 + b 5 x + c 5 имеет действи- тельные корни; 2) если ac ≥ 0, то 4 5 a 5 c 5 ≥ 4a 5 c 5 ⇒ b 10 ≥ 4a 5 c 5 ⇒ a 5 x 2 + b 5 x + c 5 имеет действи- тельные корни. Ответ: да. Задача №6. В четырехугольнике ABCD серединные перпендикуляры к сторо- нам AB и CD пересекаются на стороне AD и ∠BAD = ∠ADC. Может ли одна диагональ четырехугольника быть больше другой? Ответ объясните. Решение: Пусть точка P — точка пересечения серединных перпендикуляров P M и P N . Тогда AP = BP , CP = DP ⇒ ∠P AB = ∠ABP = ∠P DC = ∠P CD ⇒ ∠AP B = ∠CP D ⇒ ∠AP C = ∠BP D ⇒ 4AP C = 4BP D (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ AC = BD. Ответ: нет. Задача №7. Найдите пары натуральных чисел m и n, для которых выполняется равенство: НОК(m, n) − 2НОД(m, n) = 5mn 7 Решение: Как известно, НОК(m, n) · НОД(m, n) = mn. Для удобства введем обо- значения: НОК(m, n) = x, НОД(m, n) = y, така как m, n ∈ N, то x, y ∈ N. Исходное уравнение примет вид: (x−2y) = 5xy 7 ⇒ 7(x−2y) = 5xy ⇒ 7x−14y−5xy = 0 ⇒ x(7 − 5y) − 14y = 0 ⇒ x(7 − 5y) − 14 5 · 5y = 0 ⇒ x(7 − 5y) − 14 5 · (5y − 7 + 7) = 0 ⇒ x(7 − 5y) − 14 5 · (5y − 7) − 14 5 · 7 = 0 ⇒ (7 − 5y) x + 14 5 = 14·7 5 ⇒ (7 − 5y)(5x + 14) = 14 · 7. x, y ∈ N, следовательно, 5x + 14 ∈ N и, значит, 7 − 5y ∈ N. Поскольку y ∈ N, то это возможно лишь при y = 1. В таком случае, 2 · (5x + 14) = 14 · 7 ⇒ 5x + 14 = 49 ⇒ 5x = 35 ⇒ x = 7. Следовательно, НОК(m, n) = 7, НОД(m, n) = 1. Что означает, что числа взаимно простые и возможны две ситуации: m = 1, n = 7 или m = 7, n = 1. Ответ: m = 1, n = 7 или m = 7, n = 1. Задача №8. Решите уравнение: 3 25 x 3 = b, где b — среднее арифметическое чи- сел m = 276 2 + 276 · 243 + 243 2 529 , n = 276 2 − 276 · 243 + 243 2 23 Решение: m = 276 2 + 276 · 243 + 243 2 529 = 276 2 + 276 · 243 + 243 2 276 + 243 = = (276 − 243)(276 2 + 276 · 243 + 243 2 ) (276 − 243)(276 + 243) = 276 3 − 243 3 23 · 529 = 276 3 − 243 3 23 · 23 2 = 276 3 − 243 3 23 3 ; 2 n = 276 2 − 276 · 243 + 243 2 23 = 276 2 − 276 · 243 + 243 2 276 − 243 = = (276 + 243)(276 2 − 276 · 243 + 243 2 ) (276 + 243)(276 − 243) = 276 3 + 243 3 529 · 23 = 276 3 + 243 3 23 2 · 23 = 276 3 + 243 3 23 3 ; b = m + n 2 = 1 2 276 3 − 243 3 23 3 + 276 3 + 243 3 23 3 = 276 3 23 3 = 276 23 3 = 12 3 ; 3 25 x 3 = 12 3 , 3 25 x = 12, x = 12 · 25 3 = 4 · 25 = 100. Ответ: 100. Задача №9. Из всех решений уравнения y 2 x − y 2 + 4xy + 6x − 2y = 3 найдите те решения, для которых x принимает наименьшее значение. Решение: (x − 1)y 2 + 2(2x − 1)y + 3(2x − 1) = 0. (1) 1) x = 1 ⇒ y = −1,5. 2) x 6= 1 ⇒ D 4 = (2x − 1) 2 − 3(x − 1)(2x − 1) = (2x − 1)(2 − x) ≥ 0 ⇒ x ∈ [0,5; 2] ⇒ x наим = 0,5 < x = 1 (в первом случае). Подставив x = 0,5 в (1), получим y = 0. Ответ: (0,5; 0). Задача №10. Для любой пары чисел определена некоторая операция «*», удо- влетворяющая следующим свойствам: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) · c и a ∗ a = 1, где операция «·» — операция умножения. Найдите корень x уравнения: x ∗ 2 = 2021. Решение: Учитывая условие задачи, имеем x ∗ 1 = x ∗ (x ∗ x) = (x ∗ x) · x = 1 · x = x. Тогда 1) (x ∗ 2) · 2 = 2021 · 2 = 4042, 2) (x ∗ 2) · 2 = x ∗ (2 ∗ 2) = x · 1 = x. Следовательно, x = 4042. Ответ: 4042. 3 |