Росдистант . Высшая математика задание 1. Высшая математика Задание 1. 08. 03. 01. Строительство. Промышленное и гражданское строительство
 Скачать 0.94 Mb.
|
|
М  ИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИфедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тольяттинский государственный университет» ФГБОУ ВО «Тольяттинский государственный университет» Архитектурно-строительного института (наименование института полностью) Кафедра /департамент /центр1 _____________Строительство_______________________ (наименование кафедры/департамента/центра полностью) 08.03.01. Строительство. Промышленное и гражданское строительство. (код и наименование направления подготовки, специальности) Бакалавриат (направленность (профиль) / специализация) Практическое задание №_1_ по учебному курсу «_________________3_________________» (наименование учебного курса) Вариант __11/13/9__ (при наличии)
Тольятти 2022 Матвиенко (11) Олеся (13) Константиновна (9) Задание 1 РАЗДЕЛ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Задача 1 Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.  Решение: Найдем собственные числа из характеристического уравнения:   Для  найдем его собственный вектор:  Тогда имеем однородную систему линейных уравнений.  Решим ее методом Гаусса:  Тогда:  Собственный вектор:  Задача 2 Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.  Решение: Дана неоднородная система из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Для того чтобы исследовать систему, вычислим ранги основной и расширенной матриц данной системы уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:   По теореме Кронекеля-Капелли ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и меньше количества переменных, значит система является совместной и неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений. Т.к. система является совместной и неопределенной, то методами Крамера и обратной матрицы ее решить невозможно. Решим систему методом Гаусса: Базисный минор  Базисные неизвестные  . Свободные неизвестные  .Запишем укороченную систему:  Полагаем, что  .Тогда:   Общее решение системы:  Задача 3 Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.  Решение: Дана однородная система из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Для того чтобы исследовать систему, вычислим ранг матрицы данной системы уравнений, для чего приведём системы к ступенчатому виду:    По теореме Кронекеля-Капелли ранг основной матрицы меньше количества переменных, значит система является совместной и неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений. Базисный минор  Базисные неизвестные . Свободные неизвестные .Запишем укороченную систему:  Полагаем, что .Тогда:   Общее решение системы:  РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Задача 1 Составить уравнение плоскости  , проходящей через точку  перпендикулярно вектору  . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости  , проходящей через точки  . Найти угол между плоскостями и . Найти расстояние от точки  до плоскости . Решение: 1) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору .Найдём координаты вектора : Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку  перпендикулярно данному вектору  : Подставляем координаты точки  и координаты вектора  в уравнение .Получаем:     2) Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости : Нормальное уравнение плоскости : Уравнение плоскости в отрезках: 3) Составить уравнение плоскости , проходящей через точки .Запишем уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки  :Получаем:  Вычислим определитель, разлагая его по первой строке:     Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: 4) Найти угол между плоскостями и .Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле:       5) Найти расстояние от точки до плоскости .Расстояние от точки  до плоскости , найдем по формуле:  Тогда:  Задача 2 Прямая  задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой  , проходящей через точку  параллельно прямой , и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки на прямую и точку пересечения прямой и плоскости . Решение: 1) Написать ее каноническое и параметрическое уравнения. Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой , необходимо знать координаты точки на прямой и координаты направляющего вектора этой прямой.По условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей  и  .По общим уравнениям этих плоскостей можно записать их векторы нормалей:   Векторы нормалей  и  перпендикулярны искомой прямой, образованной пересечением плоскостей. Следовательно, её направляющий вектор может быть найден как векторное произведение векторов и :  Определим точку, лежащую на прямой. Для этого решим систему уравнений:  При  получаем:  Таким образом, точка, лежащая на данной прямой, имеет координаты  .Записываем канонические уравнения прямой : и параметрические уравнения:  2) Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой , вычислить расстояние между ними. Чтобы составить уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно прямой , в качестве направляющего вектора искомой прямой возьмем направляющий вектор прямой : В то же время прямая проходит через точку  , значит ее уравнение имеет вид: Найдем расстояние между прямыми и .Расстояние от точки до прямой будем рассматривать как длину высоты параллелограмма, построенного на векторах  , где – точка на прямой ,  – направляющий вектор прямой .  Тогда:  Находим векторное произведение:   Находим модули векторов:   Подставляя найденные значения в формулу, находим расстояние от точки до прямой: 3) Найти проекцию точки на прямую и точку пересечения прямой и плоскости .Найдем проекцию точки на прямую .Найдем уравнение плоскости, которая перпендикулярна к прямой и проходит через точку . Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости. Направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой . То есть,  – нормальный вектор плоскости. Тогда уравнение плоскости  , проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:  Осталось найти координаты точки пересечения прямой и плоскости – они являются искомыми координатами проекции точки на прямую .Подставим в уравнение плоскости вместо  их выражения через параметр: Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой  и плоскости по параметрическим уравнениям прямой:  Таким образом, проекция точки на прямую имеет координаты: Найдем точку пересечения прямой и плоскости  .Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: Подставим значения в уравнение плоскости :  Теперь найдем значения координат , соответствующие параметру  : Точка пересечения прямой и плоскости  .РАЗДЕЛ № 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Задача 1 Даны координаты вершин треугольника  . Составить уравнения сторон треугольника. Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла , найти их длины. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. Решение: 1) общие уравнения всех сторон треугольника; Уравнения сторон  найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки:  Из уравнения стороны  .  Из уравнения стороны  .  Из уравнения стороны  .2) общее уравнение высоты  ;Для составления уравнения высоты , воспользуемся условием перпендикулярности прямых: Так как  , то  Так как  , то  Уравнение прямой с угловым коэффициентом  , проходящей через точку  , имеет вид: Тогда уравнение высоты  с угловым коэффициентом  , проходящей через точку  , имеет вид: Чтобы найти длину высоты, найдем расстояние от точки  до прямой  , воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой:  3) общее уравнение биссектрисы  ;Найдем уравнение биссектрисы угла  .Приведем уравнения сторон  к нормальному виду:  Биссектриса угла между двумя прямыми есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Тогда уравнения биссектрис между прямыми :       Уравнение биссектрисы : Чтобы найти длину биссектрисы, найдем точку  пересечения прямых и  :  Тогда длина биссектрисы:   4) общее уравнение медианы  ;Для определения уравнения медианы найдем координаты точки  , которая делит отрезок  пополам:  Тогда координаты точки  .Медиана проходит через точки  и .  Длина медианы:   5) уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам; Чтобы составить уравнение прямой  , найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как  , то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е.  .Из уравнения стороны .Тогда  .Составим уравнение прямой , зная угловой коэффициент и координаты точки : Чтобы составить уравнение прямой  , найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как  , то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е.  .Из уравнения стороны .Тогда  .Составим уравнение прямой , зная угловой коэффициент и координаты точки  : Чтобы составить уравнение прямой  , найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как  , то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е.  .Из уравнения стороны .Тогда  .Составим уравнение прямой , зная угловой коэффициент и координаты точки  : Сделаем рисунок:  Задача 2 По координатам вершин пирамиды  средствами векторной алгебры найти: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) проекцию вектора  на  ; 5) объем пирамиды.  Решение: 1) длины ребер и ; Длина ребра равна модулю вектора . Модуль вектора  вычисляется по формуле:  Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:  Длина ребра равна модулю вектора .  Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:  2) угол между ребрами и ;Угол между ребрами и будем искать, используя формулу скалярного произведения векторов: В нашем случае:    3) площадь грани ; Площадь грани найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах  .     4) проекцию вектора на ; 5) объем пирамиды. Объем пирамиды вычислим с помощью смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида:      1 Оставить нужное |