Комплексные числа. 1. 2 Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами
![]()
|
1.2 Мнимая единица. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.Мнимая единица. Степень мнимой единицы. Множество комплексных чисел, их геометрическая интерпретация Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение во вторую и третью степень). Элементарные вычисления с помощью МК. х2 + 4 = 0 х2 = - 4 во множестве R решений нет ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначим: Множество действительных чисел и мнимая единица составляют множество комплексных чисел, тогда ![]() i 23 = i 3 = - i (23 : 4 = 4 ![]() i 23 = i 20 ![]() ![]() i 48 = i 0 = 1 i 10 i 8 i 2 = 1 (-1) = -1 i 14 = i 2 = - 1 i 25 = i 1 = i i 103 = i 3 = - i 2 i 3 - 7 i 8 + 5 i 9 + 4 i 10 = - 2 i - 7 + 5 i - 4 = - 11 + 3 i Число Z = a + b i - комплексное число (алгебраическая форма записи) а - действительная часть числа b i - мнимая часть числа ![]() a + b i = a1 + b1 i если а = а1 b = b1 ![]() ![]() a + b i и a - b i называются сопряженными ![]() Например 2 - 3 i и 2 + 3 i - 4 - i и - 4 + i , т. е. отличаются знаком перед мнимой частью ![]() Числа a + b i и - a - b i называются противоположными ![]() Например - 3 - 4 i и 3 + 4 i - 5 + 2 i и 5 - 2 i , т.е. отличаются знаками и перед мнимой и перед действительной частями Комплексные числа изображаются геометрически точкой (a; b) или радиусом - вектором, проведенным к этой точке из начала координат ![]() ![]() ![]() Z 1 = 5i Z 2 = 2 Z 3 = - 3i Z 4 = - 4i Z ![]() = 3 - 4 i Z = - 2 + 3 i Изобразите числа: Z = - 7 + 2 i Z = - 9 - i Z = - 1 - 4 i Z = 12 Z = - 5 i Z = 6 i Z = - 4 Z = - 3 - 2 i Итак: a + bi a ![]() ![]() b ![]() III ч < 0; тупой = - (180 0 - 1) IV ч < 0; острый ![]() ![]() Найти модуль и аргумент комплексного числа: а ![]() ![]() б ![]() ![]() ![]() в) Z = - 5 - i ![]() ![]() г) Z = 3 - 5 i ![]() Для чисел, состоящих только из мнимой или только действительной частей нахождение ![]() ![]() 1 ![]() 2 = 2 + 0i Число находится на "ОХ" ![]() ![]() 2) Z = 3i 3i = 0 + 3i Число находится на "ОУ" ![]() ![]() 3) Z = - 4 ![]() 4 ![]() ![]() Самостоятельно Найти модуль и аргумент комплексного числа 1. Z = - 4 + 3 I 3. Z = - 3 - 7 I 5. Z = - 7 I 7. Z = 3 i 2. Z = - 2 - 5 I 4. Z = 5 + I 6. Z = 2 8. Z = - 4 Z 1 = a 1 + b 1 i Пусть даны числа: Z 2 = a 2 + b 2 i Рассмотрим действия над числами Сложение Z 1 + Z 2 = (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = a 1 + b 1 i + a 2 + b 2 i = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i Вычитание Z 1 - Z 2 = (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) = a 1 + b 1 i - a 2 - b 2 i = (a 1 - a 2) + (b 1 - b 2) i Умножение Z 1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = a 1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например 1) (3 - 5 i) ![]() т.к. i 2 = - 1, то -5 ![]() 2) (2 - 3 i) ![]() ( a + b i ) ![]() ![]() ( a + b i ) ![]() Сумма квадратов Сумма квадратов разлагается на множители только во множестве комплексных чисел Деление ![]() конкретно на примере: ![]() Возведение в квадрат, куб (используем формулы сокращенного умножения) Z = ( a + b i ) 2 = a 2 + 2 a b i + b 2 i 2 = a 2 + 2 a b i - b 2; например: 1) ( - 4 + i ) 2 = 16 - 8 i + i 2 = 16 - 8 i - 1 = 15 - 8 i 2) ( 2 - 3 i ) 3 = 8 - 3 ![]() ![]() ![]() ![]() = 8 - 36 i - 54 + 27 i = - 46 - 9 i Выполнить действия ![]() при этих действиях использованы правила: i 3 = - i; i 2 = - 1; ( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 , а теперь разделим, для этого умножим знаменатель на сопряженное ему число ( - 5 + 12 i) , а чтобы дробь не изменилась умножаем и числитель на это число, т.е. ![]() Самостоятельно Выполнить действия ![]() ![]() ![]() Контрольные вопросы Что принято за мнимую единицу? Чему равно ![]() Какое число называется комплексным числом? Какие комплексные числа называются сопряженными, противоположными? Как найти i в любой степени? Как изображается геометрически комплексное число? Чему равен модуль комплексного числа? Как находится аргумент комплексного числа? Как выполняются действия сложение и вычитание комплексных чисел? Как выполняется умножение комплексных чисел? Чему равно произведение двух сопряженных комплексных чисел? Как выполняется деление комплексных чисел? |