Комплексные числа. Теория комплексных чисел Основные понятия комплексных чисел Содержание

• Название: Теория комплексных чисел Основные понятия комплексных чисел Содержание
• Анкор: Комплексные числа
• Дата: 29.11.2022
• Размер: 0.86 Mb.
• Имя файла: Комплексные числа.ppt
• Тип: Документы; #819383

Теория комплексных чисел

Основные понятия комплексных чисел

Содержание:

Основные понятия
Геометрическое изображение комплексных чисел
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного числа

Основные понятия

Комплексным числом z называют выражение:


где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством:




а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью. Их обозначают так:


Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.


Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными:


Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости XOY в виде точки A(a; b).


Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной.


y


0


х




A(a; b)




z


a


b


Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют действительные числа (b = 0), поэтому ось OX называют действительной осью.


Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа (a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.


Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z вектор


Тогда имеют место равенства:


Следовательно, комплексное число z можно представить в виде:


y


0


х




A(a; b)




z


a


b


Обозначим через r модуль вектора , через φ угол между вектором и положительным направлением оси OX.




φ


Тригонометрическая форма записи комплексного числа




Модуль комплексного числа




Аргумент комплексного числа




Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого


r


Равенство комплексных чисел.


1


Два комплексных числа и называются равными : , если


Комплексное число равно нулю , тогда и только тогда, когда


2


Сложение и вычитание комплексных чисел.


Суммой (разностью) комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством:




3


Умножение комплексных чисел.


Сложение и вычитание комплексных чисел, изображенных векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов:


y


0


х




z


z1


z2


z1 + z2


z1 - z2


Умножением комплексных чисел и называется число, получаемое при умножении этих чисел по правилам алгебры как двучлены, учитывая что


При любом целом k:




На основании этого правила получим:


тогда произведение находится по формуле:




Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:




Произведение сопряженных комплексных чисел:




4


Деление комплексных чисел.


Чтобы разделить на необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю:




Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:






Найти произведение и частное комплексных чисел:








= -1


5


Возведение в степень комплексного числа.






При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)


6


Извлечение корня из комплексного числа.


Корень n – ой степени из комплексного числа находится по формуле:




Арифметическое значение корня из положительного числа r




Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных значений корня.




Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.


Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.


Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:




Найти все значения кубического корня из единицы




A




В




С


y


х




z




Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z.


Комплексные значения функции w определяются по формуле:


Пример:


Пусть Если х и y – действительные переменные, то z называется комплексной переменной.




(1)


Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:


Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции.




(2)


Заменим в формуле (2) y на – y:


(3)


Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :




Представим комплексное число z в тригонометрической форме::


По формуле Эйлера:


Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме:


Действия над комплексными числами в показательной форме:




Пусть имеем:


Тогда: