1. Т.1 - Определ. компл. числа. Формы записи комплекс. чисел. Тема 1 Определение комплексного числа. Формы записи комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел

• Название: Тема 1 Определение комплексного числа. Формы записи комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел
• Дата: 15.02.2022
• Размер: 3.12 Mb.
• Имя файла: 1. Т.1 - Определ. компл. числа. Формы записи комплекс. чисел. .pptx
• Тип: Документы; #362460

Тема 1: Определение комплексного числа.

Формы записи комплексных чисел.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Москва 2021 г.

Историческая срака

Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения алгебраических уравнений.

Вплоть до ХVI века математики всего мира комплексные корни, возникавшие при решении квадратных уравнений, объявляли ложными и не принимали их во внимание.

Смысл комплексных чисел разъяснил итальянский математик Рафаэль Бомбелли (1526-1572). В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме.

Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.

Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считались «воображаемыми» и бесполезными.

Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли немецкие математики: Леонард Эйлер (1707-1783), который ввёл обозначение  i для мнимой единицы ,

а также Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855), который в 1831 году ввёл в науку термин «комплексное число».

К. Гаусс

Л. Эйлер

Геометрическая интерпретация комплексного числа XVIII-XIX вв.

Re z

(действительная ось)

Im z – (мнимая ось)

М(a, b)

a

b

0

z= a + bi

К. Гаусс

В начале XIX века К. Гаусс разработал геометрическую интерпретацию, позволившую уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами.

(1777 -1855)

С

(комплексная плоскость)

Модуль комплексного числа

• Модулем комплексного числа z = a + bi называется длина вектора | z |:

Re z

(действительная ось)

Im z (мнимая ось)

М (a, b)

a

b

0

r = | z |

|z|

С

Пример-1: Найти модуль комплексного числа:

|z|

Два комплексных числа: z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называются равными (z1 = z2 ) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части:

и .



В частности, комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда a = b = 0.



Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел

не вводится!!!

a1 = a2

b1 = b2

z = a + b i = 0

Аргумент комплексного числа

• Аргументом комплексного числа называется угол  , который образует вектор OM с положительным направлением оси абсцисс:

Re z

Im z

М (a, b)

a

b

О



 = arg z

r = | z |

Аргумент определяется неоднозначно:

Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2π.

Для нашего примера:

х

у

1

1

0

1

х

у

1

1

0

2

х

у

1

1

0

3

Пример -2: Найти аргументы комплексного числа:

1

0

-1

0



-1

0





Im z

Re z

tg

Im z

Re z

Re z

Im z

Пример – 3: Найти модуль и аргумент комплексного числа:



1

0



tg

Im z

Re z

Решение:

Для комплексных чисел существует несколько форм записи:



- алгебраическая форма записи;

- тригонометрическая форма записи;

- показательная форма записи



1). Алгебраическая форма записи комплексного числа

2). Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Пример - 4: Изобразить на комплексной плоскости следующие числа:

z3

-3

2

-2

3

0

z1

z4

z2

z5

Im z

Re z

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно сопряженными:

и

Пример – 5: Записать в тригонометрической форме число:

-2

0



r = 4

Im z

Re z

Ответ:



3

3

2

Решение:

Пример-6: Записать в алгебраической форме число :

Решение:

Ответ:

z =

Пример- 7: Записать в алгебраической форме число:

Решение:

Ответ:

z =

Действия над комплексными числами, изображённых векторами

Сложение и вычитание комплексных чисел, изображённых векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов:

Im z

0

Re z

С

z1

z2

z1 + z2

z1 - z2

Действия над комплексными числами

в алгебраической форме

Действия над

комплексными числами

в тригонометрической форме

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

• Пусть

1. Умножение комплексных чисел:

Пример-8: Найти произведение комплексных чисел:

Ответ:

z =

Решение:

2. Деление комплексных чисел:

Пример-9: Найти частное двух комплексных чисел:

Решение:

Ответ:

z =

3. Возведение в степень:

• Пусть

- формула Муавра

Пример-10: Возвести в четвёртую степень комплексное

число:

Решение:

Ответ:

z =

Пример-11: Возвести в степень комплексное число и записать результат в алгебраической форме:

1). Пусть:

2). Запишем каждое из чисел в тригонометрической форме:

Решение:

2

0



0



r = | z |

Im z

Re z

Re z

Im z

3). Разделим одно число на другое в тригонометрической форме:

4). А теперь возведём в степень:

5). Теперь можно результат записать в алгебраической форме:

4. Извлечение корня:

• Пусть

Корнем n-ой степени из числа z (n∈ N, n≥2) называется такое комплексное число u, для которого справедливо равенство:

Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет ровно n значений, которые находятся по формуле:

Пусть

Запишем данное число в тригонометрической форме:

1

0

Im z

Re z

1).

Решение:

2).

Пример-12: Найти все значения корня шестой степени

из единицы:

u0

u4

u3

u2

u1

u5

Im z

Re z

Ответ:

Пример-13: Решить уравнение:

Пусть:

3). Запишем данное число в тригонометрической форме:

1

0



2).

r = | z |

а

b

Решение:

1).

Im z

Re z

u0

u4

u3

u2

u1

Im z

Re z

Ответ:

3). Показательная форма записи комплексного числа

еiφ = cos  + i sin 

• Если записать комплексное число , модуль которого равен единице

|z| = = 1 , в тригонометрической форме и поставить

ему в соответствие число еiφ , то получим соотношение, которое называется

формулой Эйлера:

 

z = еiφ

z = а2 + b2

z = cos  + i sin 

Рассмотрим показательную форму комплексного числа:

Отметим частный случай формулы Эйлера:

e i π = cos π + i sin π = - 1 + 0· i = - 1

| еiφ | = | cos  + i sin  | = = 1

 

Отсюда важное свойство величины еiφ :

- при любом угле  .

Это показывает, что точка комплексной плоскости находится на единичной окружности.

z = r ⸱ еiφ

z = еiφ

z = еiφ

Im z

Re z

Используя формулу Эйлера, число z можно записать в более

компактной форме: - показательная форма комплексного

числа z .

z = еiφ

z = еiφ

Пример-14: Записать число в показательной форме:

Решение:

1).

2). Тогда показательная форма числа z имеет вид:

Ответ:

Пример-15: Записать число в показательной форме.

Решение:

1). Чтобы представить комплексное число z в виде:

нужно найти модуль (r) и аргумент ( ) комплексного числа z.

2). Здесь тогда:

z= a + bi

(Точка z лежит на мнимой оси комплексной плоскости)

Im z

Re z



3). Зная r и получим:



Ответ:

Действия над

комплексными числами

в показательной форме

Действия над комплексными числами в

показательной форме:

Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится

по правилам действий со степенями.

Так, для произведения и частного комплексных чисел: и

справедливы формулы:

а для n-й степени комплексного числа используется формула:

(3)

(2)

(1)

Для вычисления корня из комплексного числа

используется формула:

где: k принимает n - значений: 0, 1, 2, … , n-1.

(4)

Пример-16: Найти произведение комплексных чисел 

и

Решение: 

Произведение комплексных чисел по формуле:

Ответ:

Пример-17: Найти частное комплексных чисел: 

и

Решение: 

Ответ:

Частное комплексных чисел в показательной форме:

Пример-18: Найти третью степень комплексного числа: 

Решение: 

Возведём в степень комплексное число по формуле:

Ответ:

Пример-19: Извлечь квадратный корень изкомплексного числа: 

Решение: 

Ответ:

Извлечём квадратный корень из комплексного числа

по формуле:

( где: k принимает n - значений:

0, 1, 2, … , n-1 ) .

где: k принимает два значения: 0, 1,

Корней 2-й степени из числа существует ровно два: ω1 и ω2 

 

Домашнее

задание

Домашнее задание

№5. Выполнить умножение и деление двух комплексных чисел z1 = 3 + i  и z2 = 5 – 2i  в алгебраической форме:

а). z1 · z2 ; б). .

№6. Решить квадратное уравнение  х2 + 2х + 2= 0 в множестве  C (комплексных чисел).

№7. Извлечь корень третьей степени   в множестве  C (комплексных чисел).

№8. Возвести комплексное число   z = 3 + 3i   в степень n : a).  n = 2; б).  n = 7.  

№25. Записать комплексное число  z = 4 – 3i  в показательной форме.

№36. Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:

1). r = 0 , φ = 5π;

2). r =10, φ = ;

3). r =2 , φ = − ;

4). r = 3, φ = 0.

№66. Перевести из алгебраической в тригонометрическую и показательную форму

комплексное число: z = 4 – 4i 

 

Используемая литература:

1). Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 6-е изд.

испр. – М.: Изд. Айрис-пресс, 2018.

  2). Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.:

Изд. АСТ, 2018.

  3). Дадаян А.А. Математика. (Профессиональное образование). 3-е изд., испр.

и доп. – М.: Форум: Изд. Инфра-М, 2017.

4). Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. 10-е изд., стер. – М.:

Высшая школа, 2018.

5). Подольский В.А. Сборник задач по математике. – М.: Высшая школа, 2018.

 

Спасибо за внимание