Задачи по механике (Иродов). 1. 60. Гладкий резиновый шнур, длина которого L и коэффициент упругости k, подвешен одним концом к точке О. На другом конце имеется упор В.
![]()
|
1 ![]() .60. Гладкий резиновый шнур, длина которого l и коэффициент упругости k, подвешен одним концом к точке О. На другом конце имеется упор В. Из точки О начинает свободно падать муфта А массы т. Пренебрегая лассой шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура. Решение. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии точку, в которой растяжения шнура максимальное. Тогда, в точке О муфта имела потенциальную энергию![]() В точке В после растяжения шнура на максимальную величину x муфта получила потенциальную энергию силы упругости шнура: ![]() По закону сохранения энергии имеем: ![]() Из двух вариантов решения выбираем знак «+», т.к. только в этом случае получаем положительное растяжение шнура. Таким образом, максимальное растяжение шнура равно: ![]() 1.61. Тело массы т пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Начальная скорость тела равна v0,коэффициент трения между телом и плоскостью k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения? Решение. П ![]() о второму закону Ньютона имеем: ![]() Спроектируем это уравнение на оси координат, показанные на рисунке: ![]() Сила трения скольжения равна: Fm = kN; N = mg cos.; Fm = k mg cos.. Тогда из первого уравнения проекций закона Ньютона на оси координат имеем: –k mg cos. – mg sin.= ma –k g cos. – g sin.= a. Считая движение до остановки равнозамедленным, запишем ускорение тела: ![]() Тогда получаем выражения для искомого пути, которое пройдет тело до остановки: ![]() Работа силы трения на данном пути равна: ![]() 1.62. Цепочка лежит на столе, свешиваясь у его края на = 1/4своей длины. Масса цепочки m= 1,00 кг,ее длина l= 1,5 м,коэффициент трения покоя между столом и цепочкой k = 0,20. Действуя на конец А некоторой горизонтальной силой F, свешивающуюся часть цепочки медленно втянули на стол. Какую работу совершила при этом сила F? ![]() Решение. Сила F совершает работу по преодолению силы трения ![]() ![]() ![]() Соответственно работа данной силы F равна полученной работе по модулю и противоположна по знаку, т.е. ![]() 1.63. Тело массы т бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время полета, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени. Решение. ![]() Траекторией движения является парабола. В силу симметрии работа силы тяжести при поднимании тела на максимальную высоту равна по модулю и противоположна по знаку работе силы тяжести при опускании тела, т.е. ![]() ![]() ![]() Мгновенная мощность, которую развивает сила равна: ![]() Разложим скорость на составляющие вдоль оси x и вдоль оси y: ![]() Поскольку составляющая скорости вдоль оси x перпендикулярна к направлению силы тяжести F= mg, то она не дает вклад в мощность силы тяжести. Поэтому рассматриваем только составляющую скорости вдоль оси оси y. Имеем выражение для мощности, развиваемую силой тяжести, как функцию времени: ![]() 1.64. Материальная точка массы т движется по окружности радиусом Rс нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону wn= at2, где а – постоянная Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на эту точку, а также среднее значение этой мощности за первые секпосле начала движения. Решение. Мощность всех сил, действующих на эту точку, равна: ![]() Работа всех сил равна изменению кинетической энергии точки за первые tсекпосле начала движения: ![]() Из выражения для нормального ускорения получаем: ![]() Тогда работа всех сил равна: ![]() Зависимость мощности от времени равна: ![]() Среднее значение мощности за первые секпосле начала движения равно: ![]() 1.65. Небольшое тело массы т находится на горизонтальной поверхности в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость v0. Найти: а) среднюю мощность, развиваемую силой трения завсе время движения, если коэффициент трения k = 0,27; m = 1,0 кг и v0 = 1,5 м/с; б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону k= x, где – постоянная, х – расстояние от точки О. Решение. а) Средняя мощность, развиваемая силой трения завсе время движения, равна: ![]() где ![]() Сила трения направлена против направления движения, поэтому ее проекция на это направления равна: ![]() Тогда получаем: ![]() б) Мощность силы трения равна: ![]() Работа силы трения равна: ![]() Тогда, мгновенная мощность равна: ![]() С другой стороны работы силы трения равна изменению кинетической энергии тела: ![]() Тогда имеем: ![]() Тогда, мгновенная мощность равна: ![]() Для нахождения максимальной мощности, исследуем полученное выражение на экстремум: ![]() Подставим полученное значение в выражение для мгновенной мощности: ![]() 1.66. В системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью 0= 5,0 рад/секдвижется небольшое тело массы m = 0,10 кг.Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела из точки 1 в точку 2,если точки находятся на расстояниях r1 =30 сми r2 = 50 смот оси вращения? Решение. Центробежная сила инерции направлена к центру вращения. Ее работа при перемещении тела из точки 1 в точку 2, расположенных на разных расстояниях от центра вращения, равна изменению кинетической энергии тела: ![]() Связь между линейной и угловой скоростями дается соотношением: ![]() Тогда работа центробежной силы инерции равна: ![]() 1.67. Кс - система отсчета, в которой покоится центр инерции механической системы взаимодействующих материальных точек, движется поступательно со скоростью V относительно инерциальной К-системы отсчета. Масса механической системы равна m, ее полная энергия в Кс- системе отсчета Ес. Найти полную энергию Е данной механической системы в К-системе отсчета. Решение. Энергия системы взаимодействующих материальных точек в К-системе отсчета равна сумме кинетических энергий всех точек, входящих в систему: ![]() Скорость точки в К-системе отс+чета равна: vk = V + vk c, где vkc – скорость точки в Кс-системе отсчета Тогда получаем: ![]() Выражение ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку в Кс- системе отсчета центр масс системы покоится, то VС = 0. Тогда получаем полную энергию Е данной механической системы в К-системе отсчета: ![]() 1.68. На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами m1 и m2, которые соединены между собой пружинкой. В некоторый момент времени шайбам сообщили начальные скорости v1 и v2. Оба вектора взаимно перпендикулярны, лежат в горизонтальной плоскости и один из них совпадает по направлению с прямой, проходящей через центры шайб. Пренебрегая массой пружинки, найти полную энергию этой механической системы в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с ее центром инерции. Решение. Энергия этой механической системы есть сумма кинетических энергий ее тел: ![]() Введем вектор взаимного расстояния шайб: ![]() Поместим начало координат в центре инерции, что дает: ![]() Из двух последних равенств находим: ![]() Тогда получаем: ![]() Поскольку по условию вектора скорости шайб перпендикулярны, то ![]() Тогда получаем выражение для энергии: ![]() где ![]() 1.69. Система состоит из двух шариков с массами m1 и m2, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент времени t = 0шарикам сообщили начальные скорости v1 и v2, после чего система начала двигаться в поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени полного импульса этой системы р(t) впроцессе движения и радиуса-вектора r0(t),характеризующего положение центра инерции относительно его начального положения. Решение. Приращение импульса системы равно: ![]() Начальный импульс системы равен: ![]() Внешняя сила – это сила тяжести: ![]() Тогда получаем: ![]() Для определения радиуса-вектора r0(t),характеризующего положение центра инерции относительно его начального положения, проинтегрируем полученное выражение по времени, учтя массу системы ![]() ![]() 1.70. Замкнутая металлическая цепочка А массы т = 0,36 кгсоединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины и вращается с постоянной угловой скоростью = 35 рад/сек.При этом нить составляет угол = 450 с вертикалью. Пренебрегая массой нити, найти расстояние от центра тяжести цепочки до вертикальной оси, вокруг которой происходит вращение, а также натяжение нити. Решение. Н ![]() а цепочку действуют три силы: сила тяжести, сила натяжения нити и центробежная сила. По 2-му закону Ньютона имеем: ![]() Поскольку движение равномерное, то ![]() В проекции на ось xможно записать: ![]() В проекции на ось yможно записать: ![]() Тогда расстояние от центра тяжести цепочки до вертикальной оси равно: ![]() 1.71. Круглый конус А, масса которого m = 3,2 кгв угол полураствора =100, катится равномерно без скольжения по круглой конической поверхности В так, что его вершина Оостается неподвижной. Центр тяжести конуса А находится на одном уровне с точкой О, отстоит от нее на расстояние l= 17 см и движется по окружности с постоянной угловой скоростью . Найти: а) силу трения покоя, действующую на конус А, если = 1,0 рад/сек; б) при каких значениях движение конуса А будет происходить без скольжения, если коэффициент трения покоя между поверхностями конусов k= 0,25? Решение. ![]() а) Рассмотрим движение центра масс конуса. На него действуют сила тяжести, центробежная сила инерции и сила трения (которая уравновешивает две предыдущие силы). Спроектируем эти силы на ось конуса:
Тогда имеем: ![]() б) Найдем значение , при котором движение конуса А будет происходить без скольжения. В этом случае сила трения ![]() ![]() 1.72. Плот массы М с находящимся на нем человеком массы m неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение ![]() ![]() а) перемещение плота ![]() б) горизонтальную составляющую ![]() Решение. а) Систему человек-плот можно рассматривать как замкнутую. По закону сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение их центра масс. Применяя это правило к системе человек-плот, можно считать, что во время перемещения человека по плоту центр масс системы не изменит своего положения, т.е. останется на предыдущем расстоянии от берега. Пусть центр масс системы человек-плот находится на вертикали, которая проходит в начальный момент через точку С1, а после перемещения плота – через точку С2. поскольку эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение плота относительно берега можно определить по перемещению центра масс плота О. ![]() Искомое перемещение равно: ![]() Суммарный момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси равен нулю, поэтому для начального положения системы имеем: ![]() После перемещения плота имеем: ![]() Подставив полученные значения в формулу для l, получим: ![]() Поскольку направления перемещений ![]() ![]() ![]() Горизонтальная составляющая ![]() ![]() 1.74. Цепочка массы m= 1,00 кги длины l= 1,40 мвисит на нити, касаясь поверхности cтола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу. Решение. Импульс тела, падающего с высоты, которая равна длине цепочке, равен: ![]() где v0 = 0 – начальная скорость; ![]() Для цепочки имеем: ![]() 1.75. Летевшая горизонтально пуля массы т попала, застряв, в тело массы М, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l. В результате нити отклонились влево на угол . Считая т<<М, найти: а) скорость пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло. Решение. ![]() а) По закону сохранения импульса имеем: ![]() где u – скорость тела и пули после взаимодействия. Рассмотрим момент отклонения нитей. На центр масс тела действуют силы тяжести и силы натяжения нитей. Имеем в проекции на вертикальную ось: ![]() где ![]() В проекции на горизонтальную ось имеем: ![]() Тогда получаем: ![]() Тогда получаем: ![]() б) относительная доля первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло равна: ![]() 1.77. При взлете ракета выпускает непрерывную струю газа, вылетающую из сопла со скоростью ![]() ![]() где т – масса ракеты в данный момент, ![]() ![]() Решение. Пусть в некоторый момент времени t ракета имела массу m и скорость ![]() ![]() С другой стороны ![]() Тогда получаем: ![]() 1.78. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью ![]() ![]() Решение. Уравнение движения ракеты имеет вид: ![]() Так как по условию ракета движется в отсутствие внешних сил, то ![]() Расход топлива равен: ![]() Тогда уравнение движения имеет вид: ![]() Интегрируя это уравнение, получим: ![]() 1.79. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы ![]() Решение. Пусть в начальный момент времени t тележка имела массу m0 и скорость ![]() ![]() С другой стороны ![]() Тогда получаем: ![]() Для определения скорости в момент времени t проинтегрируем полученное выражение: ![]() 1.80. Платформа А массы т начинает двигаться вправо под действием постоянной силы ![]() Решение. ![]() Пусть в некоторый момент времени t платформа имела массу m + tи скорость ![]() ![]() С другой стороны ![]() Тогда получаем: ![]() Для определения зависимости ускорения от времени продифференцируем данное выражение по времени: ![]() 1.76. Пушка массы М начинает свободно скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел в горизонтальном направлении, в результате которого снаряд вылетел с импульсом р, а сама пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки найти продолжительность выстрела . Решение. П ![]() ![]() Проекция силы тяжести на ось x равна: ![]() Проекция начального импульса пушки на ось x равна: ![]() Проекция конечного импульса пушки на ось x равна: ![]() Тогда получаем: ![]() 1.73. Через неподвижный блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом — уравновешивающий груз массы М. Человек, масса которого т, медленно совершил перемещение ![]() Решение. Искомое перемещение аналогично задаче 1.72 равно: ![]() Суммарный момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси равен нулю, поэтому для начального положения системы имеем: ![]() После перемещения плота имеем: ![]() Подставив полученные значения в формулу для l, получим: ![]() |