Матанализ. доки. 1. аддитивность неопределенного интеграла относительно функций (д)

• Название: 1. аддитивность неопределенного интеграла относительно функций (д)
• Анкор: Матанализ
• Дата: 23.05.2023
• Размер: 20.27 Kb.
• Имя файла: доки.docx
• Тип: Документы; #1153783

1. аддитивность неопределенного интеграла относительно функций (д)

(*)

Д – пусть – первообразные функций f1(x), f2(x) соответственно, тогда , => . + = + . Т.к С1, С2, С – произвольные константы, то совокупность функций в левой части (*) и в правой совпадают

2. Замена переменной в неопределенном интеграле (д);

Пусть t=y(x) функция дифференцируемая и определенная на множестве E, область значений этой функции множество D. Пусть функция f(t) имеет на множестве D первообразную F(t). Тогда функция f(y(x)) y’(x) имеет первообразную на множестве E равную F(y(x)), т.е .

Д - Дано

Рассмотрим

3. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле (д);

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на множестве E, у функции v(x) * u’(x) существует первообразная , тогда у функции u(x) * v’(x) (u(x) * d(v(x))) существует первообразная на множестве E и выполняется равенство: .

Д – Найдем производную (UV)’ = U’V + UV’, тогда U*V’ = (UV)’ – U’V (*)

Множество первообразных правой части имеет вид

Из (*) следует что

4. Разложение правильной рациональной дроби с действительными корнями знаменателя (д);

Пусть - правильная рациональная дробь. Если число a является вещественным корнем кратности a≥1 многочлена Q(x). Т.е и ≠ 0, то существует вещественное число A и многочлен с вещественными коэффициентами, такие что:

Где дробь также является правильной

Д – Для любого вещественного числа А прибавляя и вычитая из дроби выражение получим

5. Необходимое условие интегрируемости функции (д);

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Д – ПП – пусть f(x) не ограничена на [a,b]. Тогда при любом разбиении τ отрезка [a,b] найдется частичный отрезок [x_i-1, x_i] на котором функция f(x) не ограничена. Значит моно на этом отрезке выбрать (.) ξ, так что |f(ξ _i)| > M где M > 0 – любое число. Значит слагаемое f(ξ _{i) *} в интегральной сумме I(f, xi, ξ _i) можно сделать сколь угодно большим при любом разбиении τ. Поэтому интегральная сумма I(f, xi, ξ _i) не может стремиться к конечному пределу. Значит f(x) не интегрируема – получили противоречие => f(x) ограничена на [a,b]#

6. Свойства верхних и нижних интегральных сумм:

7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке (д);

. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции - Для того чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируема на [a,b] ⇔ чтобы для ∀ε > 0 нашлось такое разбиение ፖ отрезка [a,b], что S-s ≤ ε.

8. Теорема кантора, следствие (д);

Теорема Кантора - Если f(x) непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Следствие: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 такое, что на каждом частичном отрезке [ ] лежащем в отрезке [a,b] длина которого ∆ < δ выполняется < ε.

Д – Пусть E > 0. Из теоремы Кантора т.к f(x) непрерывна на [a,b] => f(x) равномерно непрерывна на каждом [a,b] =>

Выберем произвольный отрезок [x_i-1, x_i] :

Тогда для [x_i-1, x_i] =>

Т.к f(x) непрерывна на [a,b] => f(x) непрерывна на [x_i-1, x_i]. По второй теореме Вейештраса для [x_i-1, x_i]. Т.е mi = f( , Mi = f( . Поскольку [x_i-1, x_i] и => | | .

Тогда | = Mi – mi = wi < ε

9/ Интегрируемость непрерывной функции (д); Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Д – f(x) – непрерывна на [a,b]