хуй. Практическое занятие 2 теоретический материал и примеры решения. 1. цифРОвая пеРЕДАча анаЛОГОвых сигНАлов

• Название: 1. цифРОвая пеРЕДАча анаЛОГОвых сигНАлов
• Дата: 27.11.2021
• Размер: 152.56 Kb.
• Имя файла: Практическое занятие 2 теоретический материал и примеры решения .docx
• Тип: Документы; #283939

1. ЦИФ­РО­ВАЯ ПЕ­РЕ­ДА­ЧА АНА­ЛО­ГО­ВЫХ
СИГ­НА­ЛОВ
А


Рисунок 1.1 - Дискретные сигналы:

а – дискретный по времени; б – дискретный по уровню; в – дискретный по времени и по уровню; г – цифровой сигнал с ИКМ
на­ло­го­вым сиг­на­лом в сис­те­мах пе­ре­да­чи на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ный элек­три­че­ский или оп­ти­че­ский сиг­на­лы, па­ра­мет­ры ко­то­ро­го (ам­пли­ту­да, час­то­та или фа­за) из­ме­ня­ют­ся по за­ко­ну не­пре­рыв­ной функ­ции вре­ме­ни ис­точ­ни­ка ин­фор­ма­ции, на­при­мер: ре­че­во­го со­об­ще­ния, под­виж­но­го или не­под­виж­но­го изо­бра­же­ния и т.д.

2. ПРИН­ЦИ­ПЫ ФОР­МИ­РО­ВА­НИЯ КА­НАЛЬ­НО­ГО ЦИФ­РО­ВО­ГО СИГ­НА­ЛА с ИКМ
2.1. Дис­кре­ти­за­ция во вре­ме­ни
Пре­об­ра­зо­ва­ние не­пре­рыв­но­го ана­ло­го­во­го сиг­на­ла в дис­крет­ный мо­жет быть осу­ще­ст­в­ле­но в со­от­вет­ст­вии с тео­ре­мой от­сче­тов, до­ка­зан­ной В.А. Ко­тель­ни­ко­вым в 1933 г.: лю­бой не­пре­рыв­ный сиг­нал с ог­ра­ни­чен­ным час­то­той F_МАКС спек­тром, мо­жет быть пол­но­стью пред­став­лен в ви­де сво­их дис­крет­ных во вре­ме­ни от­сче­тов, взя­тых че­рез ин­тер­вал вре­ме­ни Т_д 1/2F_макс, на­зы­вае­мый пе­рио­дом дис­кре­ти­за­ции.

Тех­ни­че­ски опе­ра­ция дис­кре­ти­за­ции по вре­ме­ни осу­ще­ст­в­ля­ет­ся при по­мо­щи клю­че­вых схем пу­тем по­лу­че­ния сиг­на­лов с ам­пли­туд­но-им­пульс­ной мо­ду­ля­ци­ей (АИМ). При АИМ ам­пли­ту­да пе­рио­ди­че­ской по­сле­до­ва­тель­но­сти им­пуль­сов из­ме­ня­ет­ся в со­от­вет­ст­вии с из­ме­не­ни­ем ам­пли­ту­ды мо­ду­ли­рую­ще­го не­пре­рыв­но­го сиг­на­ла F_н(t).

Раз­ли­ча­ют ам­пли­туд­но-им­пульс­ную мо­ду­ля­цию пер­во­го (АИМ-1) и вто­ро­го (АИМ-2) ро­да. При АИМ-1 ам­пли­ту­да от­сче­тов, сле­дую­щих с час­то­той дис­кре­ти­за­ции Fд=1/T_д=1/2F_макс, из­ме­ня­ет­ся в со­от­вет­ст­вии с из­ме­не­ни­ем мо­ду­ли­рую­ще­го сиг­на­ла F_н(t) на ин­тер­ва­ле вре­ме­ни пе­ре­да­чи от­сче­та t_и, а при АИМ-2 ам­пли­ту­да ка­ж­до­го от­сче­та по­сто­ян­на и рав­на зна­че­нию мо­ду­ли­рую­ще­го сиг­на­ла в на­чаль­ный мо­мент от­сче­та. На рисунке 2.1 пред­став­лен ис­ход­ный мо­ду­ли­рую­щий сиг­нал F_н(t), а так­же сиг­на­лы АИМ-1 и АИМ-2 в слу­чае дис­кре­ти­за­ции сиг­на­ла.


Рисунок 2.1 - Формирование АИМ сигнала

Сиг­на­лы АИМ-1 и АИМ-2 в об­щем слу­чае име­ют раз­лич­ную фор­му

Вид час­тот­но­го спек­тра G(f) для АИМ сиг­на­ла при Т_д >>t при­ве­ден на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Спектральный состав АИМ сигнала
Из рисунка 2.2 вид­но, что для вос­ста­нов­ле­ния ис­ход­но­го не­пре­рыв­но­го сиг­на­ла из АИМ сиг­на­ла, на прие­ме дос­та­точ­но по­ста­вить ФНЧ (или фильтр-ин­тер­по­ля­тор) с час­то­той сре­за, рав­ной F_макс, ко­то­рый вы­де­лит ис­ход­ный сиг­нал. Основным параметром ФНЧ является Относительная ширина переходной полосы ФНЧ (или иначе ее называют относительная ширина полосы расфильтровки фильтра), которая определяется выражением 2.1:
, (2.1)
2.2. Кван­то­ва­ние по уров­ню
Как вид­но из рисунка 2.2, АИМ-сиг­нал яв­ля­ет­ся дис­крет­ным во вре­ме­ни, но не­пре­рыв­ным по уров­ню, так как ам­пли­ту­да от­сче­тов мо­жет при­ни­мать бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во зна­че­ний. Од­на­ко лю­бая ап­па­ра­ту­ра об­ра­бот­ки со­об­ще­ний и сис­тем пе­ре­да­чи име­ет ко­неч­ную раз­ре­шаю­щую спо­соб­ность. Это свя­за­но как с ошиб­ка­ми, воз­ни­каю­щи­ми при об­ра­бот­ке сиг­на­лов, так и с на­ли­чи­ем шу­мов и ис­ка­же­ний в ап­па­ра­ту­ре и ка­на­лах пе­ре­да­чи.

В свя­зи с этим нет не­об­хо­ди­мо­сти пе­ре­да­вать все бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ам­пли­туд­ных зна­че­ний не­пре­рыв­ных сиг­на­лов, его мож­но ог­ра­ни­чить ко­неч­ным мно­же­ст­вом, со­дер­жа­щим оп­ре­де­лен­ное, за­ра­нее ус­та­нов­лен­ное, для то­го или ино­го ви­да сиг­на­лов, чис­ло «раз­ре­шен­ных» ам­пли­туд­ных зна­че­ний. Эти «раз­ре­шен­ные» для пе­ре­да­чи ам­пли­туд­ные зна­че­ния сиг­на­ла на­зы­ва­ют­ся уров­ня­ми кван­то­ва­ния; вы­бор их ко­ли­че­ст­ва оп­ре­де­ля­ет ка­че­ст­во пе­ре­да­чи сиг­на­лов.

При кван­то­ва­нии по уров­ню весь воз­мож­ный ди­на­ми­че­ский диа­па­зон сиг­на­ла от U_макс до U_мин раз­би­ва­ет­ся на раз­ре­шен­ные уров­ни (ес­ли элек­три­че­ский сиг­нал пе­ре­да­ет­ся в ви­де АИМ на­пря­же­ния не­пре­рыв­но­го сиг­на­ла: F(t) = U(t)). Раз­ность ме­ж­ду дву­мя со­сед­ни­ми раз­ре­шен­ны­ми для пе­ре­да­чи уров­ня­ми на­зы­ва­ет­ся ша­гом кван­то­ва­ния D. Ес­ли ам­пли­ту­да от­сче­та сиг­на­ла U_АИМ(t) в пре­де­лах двух со­сед­них раз­ре­шен­ных зна­че­ний пре­вы­ша­ет по­ло­ви­ну ша­га кван­то­ва­ния D/2, ее зна­че­ние уве­ли­чи­ва­ет­ся в боль­шую сто­ро­ну, ес­ли мень­ше по­ло­ви­ны ша­га кван­то­ва­ния – в мень­шую сто­ро­ну. Та­ким об­ра­зом по­лу­ча­ет­ся сиг­нал кван­то­ван­ный по уров­ню – U_кв(t).

Раз­ность ме­ж­ду ис­тин­ным зна­че­ни­ем от­сче­та и его кван­то­ван­ным зна­че­ни­ем на­зы­ва­ет­ся ошиб­кой квантования, или шу­мом кван­то­ва­ния, и оп­ре­де­ля­ет­ся формулой 2.2.

_{ш кв}(t) = U_АИМ(t) – U_кв(t), (2.2)

Про­из­ве­дя «ну­ме­ра­цию» уров­ней кван­то­ва­ния мож­но пе­ре­да­вать не са­ми уров­ни, а их зна­че­ния по шка­ле уров­ней в дво­ич­ном ко­де. В этом слу­чае на прие­ме вос­ста­но­вить кван­то­ван­ный по уров­ню сиг­нал дос­та­точ­но про­сто. Уровень квантованного сигнала на приеме определяется формулой 2.3.

U_кв(t)_пр = l_i × D, (2.3)

где l_i= (0, l_макс) – но­мер раз­ре­шен­но­го уров­ня в де­ся­тич­ной сис­те­ме счис­ле­ния;

D – шаг кван­то­ва­ния;



Рисунок 2.3 - Принципы квантования по уровню и формирования
канального сигнала с ИКМ

Мощность шумов квантования определится формулой 2.4.

, (2.4)

2.3. Ко­ди­ро­ва­ние
Опе­ра­ция ко­ди­ро­ва­ния за­клю­ча­ет­ся в пре­об­ра­зо­ва­нии но­ме­ра «раз­ре­шен­но­го» уров­ня в ко­до­вую ком­би­на­цию дво­ич­ной сис­те­мы счис­ле­ния, со­стоя­щую из m сим­во­лов ви­да «0» и «1», где ве­ли­чи­на m на­зы­ва­ет­ся раз­ряд­но­стью ко­да. Су­ще­ст­ву­ет боль­шое чис­ло дво­ич­ных сис­тем ко­ди­ро­ва­ния, од­на­ко в ЦСП с ИКМ на­шли при­ме­не­ние на­ту­раль­ный дво­ич­ный код и его мо­ди­фи­ка­ция – сим­мет­рич­ный дво­ич­ный код [11].

При ис­поль­зо­ва­нии на­ту­раль­но­го ко­да лю­бое по­ло­жи­тель­ное де­ся­тич­ное чис­ло l_i, не пре­вы­шаю­щее ве­ли­чи­ны l_макс , мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де ком­би­на­ции из m дво­ич­ных сим­во­лов по сле­дую­ще­му ал­го­рит­му (формула 2.5):

, где , (2.5)

гдеm – раз­ряд­ность ко­да.

Оче­вид­но, что l_макс оп­ре­де­ля­ет­ся сум­мой ве­со­вых со­став­ляю­щих ви­да 2 ^{m – j} при зна­че­нии всех ко­эф­фи­ци­ен­тов а_j = 1 и определяется формулой 2.6:

l_макс = 2 ^m – 1, (2.6)

а сум­мар­ное чис­ло «раз­ре­шен­ных» уров­ней кван­то­ва­ния (учи­ты­вая, что ко­ди­ру­ет­ся и ноль) формулой 2.7:

l_S = l_макс + 1 = 2 ^m, (2.7).

Связь между числом разрядов m и числом уровней квантования определяется соотношениями:

m = log₂ (l_S), (2.8)

По­сколь­ку при пе­ре­да­че те­ле­фон­ных сиг­на­лов в ка­на­лах ЦСП с ИКМ ис­поль­зу­ет­ся двух­по­ляр­ное ко­ди­ро­ва­ние (для уст­ра­не­ния по­сто­ян­ной со­став­ляю­щей и гар­мо­ни­че­ских час­тот ви­да kF_д, ), в ука­зан­ных ЦСП ис­поль­зу­ет­ся сим­мет­рич­ный дво­ич­ный код, в ко­то­ром 1 или 0 в стар­шем раз­ря­де оп­ре­де­ля­ют по­ляр­ность ко­ди­руе­мо­го сиг­на­ла с АИМ.
Про­ил­лю­ст­ри­ру­ем про­цесс ко­ди­ро­ва­ния при по­мо­щи про­стей­ше­го при­ме­ра.

Пусть раз­ряд­ность на­ту­раль­но­го дво­ич­но­го ко­да m = 4. То­гда об­ра­зую­щий по­ли­ном при­мет вид:

,

при этом l_макс = 2⁴ – 1 = 15, l_∑ = 16, т.е. при по­мо­щи 4-х раз­ряд­ной ко­до­вой ком­би­на­ции мож­но за­ко­ди­ро­вать не бо­лее 16 «раз­ре­шен­ных» уров­ней с но­ме­ра­ми от 0 до 15. Пред­по­ло­жим, что но­мер «раз­ре­шен­но­го» уров­ня l_i = 11, то­гда дво­ич­ная ком­би­на­ция в на­ту­раль­ном ко­де бу­дет иметь вид:


При по­мо­щи сим­мет­рич­но­го дво­ич­но­го ко­да пер­вым сим­во­лом ко­до­вой ком­би­на­ции ко­ди­ру­ет­ся знак от­сче­та. При оди­на­ко­вой раз­ряд­но­сти ко­да m на­ту­раль­ный и сим­мет­рич­ный ко­ды обес­пе­чи­ва­ют ко­ди­ро­ва­ние оди­на­ко­во­го чис­ла уров­ней кван­то­ва­ния. На­при­мер, при m = 4, при по­мо­щи сим­мет­рич­но­го ко­да мож­но за­ко­ди­ро­вать так­же как и при по­мо­щи на­ту­раль­но­го ко­да 16 «раз­ре­шен­ных» уров­ней, но с но­ме­ра­ми от +0 до +7 и от –0 до –7.

В со­вре­мен­ных ЦСП с ИКМ опе­ра­ции кван­то­ва­ния по уров­ню и ко­ди­ро­ва­ния на пе­ре­да­че реа­ли­зу­ют­ся в од­ном уст­рой­ст­ве, на­зы­вае­мом ко­де­ром: на его вход по­да­ет­ся сиг­нал с АИМ-2, на вы­хо­де фор­ми­ру­ет­ся циф­ро­вой дво­ич­ный сиг­нал с ИКМ. На прие­ме осу­ще­ст­в­ля­ет­ся об­рат­ное пре­об­ра­зо­ва­ние при по­мо­щи де­ко­де­ра.

При­ме­ры ре­ше­ния за­дач
Задача 1

Выбрать частоту дискретизации, определить переходную полосу частот и относительную ширину переходной полосы ФНЧ при дискретизации сигналов вещания первого класса с диапа­зоном частот 0,05 ... 10 кГц.

Решение:

1. 
   На основании теоремы Котельникова :  
   

следовательно, в нашем случае F_д>20 кГц. В современных системах передачи F_д = (примерно 2,3 или 2,4) * 2Fв. Частота дискретизации это целое число, обычно кратное 4.

Ответ: F_д =24 кГц

2. 
   Для телефонного сигнала стандартная частота дискретизации F_д = 8 кГц. При организации канала вещания (вместо трех телефонных каналов) частота дискретизации сигналов вещания должна быть кратна частоте дискретизации телефонного канала и равна 8х3=24 кГц, что не противоречит условию выбора (2,2…2,4)Fв.
   

3. 
   Переходная полоса частот (полоса расфильтровки) для ФНЧ определяется из спектра АИМ сигнала (рисунок 2.8) по формуле 2.4:
   

DF_р = (F_д – F_макс) – F_макс = 24 – 10 – 10 = 4 кГц



Рисунок 2.4 - Спектр АИМ-сигнала

4. 
   Относительная ширина переходной полосы ФНЧ (относительная ширина полосы расфильтровки ФНЧ) определяем по формуле 2.3:
   

= 0,33
Ответ: F_д = 24 кГц; DF_р = 4 кГц; 0,33.

Задача 2

На вход канала ЦСП подается сигнал в спектре (0,3 - 5,4) кГц. Частота дискретизации выбрана равной F_д=8 кГц. Какая часть спектра сигнала на выходе канала окажется искаженной?

Решение:
Определяем спектр АИМ сигнала (рисунок 2.9):

Fн = 0,3 кГц; Fв = 5,4 кГц; Fд = 8 кГц;

Fд – Fн = 8 – 0,3 = 7,7 кГц; Fд - Fв = 8 – 5,4 = 2,6 кГц

Рисунок 2.5 - Спектра АИМ сигнала
Ответ: искаженной окажется часть спектра от 2.6 кГц до 5.4 кГц.
Задача 3

За­ко­ди­ро­вать от­счет на­пря­же­ния сиг­на­ла с по­мо­щью про­сто­го натурального ко­да, ес­ли U_АИМ = 20,6 mB, D = 0,5 mB, m = 6. Определить ошиб­ку кван­то­ва­ния.

Ре­ше­ние:

1.  Оп­ре­де­ля­ем но­мер уров­ня кван­то­ва­ния: l = U_аим/D, под­став­ля­ем зна­че­ния и по­лу­чим l = 20,6/0,5 = 41,2 = 41

2. Определяем разрядность натурального кода согласно формуле 2.21: m = log₂ 41 @ 6

3. Оп­ре­де­ля­ем ко­эф­фи­ци­ен­ты дво­ич­но­го ко­да:

l = 41 = 12⁵ + 02⁴ + 12³ + 02² + 02¹ + 12⁰ =

=132 + 016 + 18 + 04 + 02 + 11

сле­до­ва­тель­но, по­лу­чим кодовую комбинацию: 41₁₀ = 101001₂

4. Оп­ре­де­ля­ем кван­то­ван­ное зна­че­ние сиг­на­ла согласно формуле 2.6: U_кв= l× D = 41 × 0,5 = 20,5 mB.

5. Оп­ре­де­ля­ем ошиб­ку кван­то­ва­ния:

x = U_АИМ – U_кв = 20,6 – 20,5 = 0,1 mB < Δ/2 = 0,25 mB

От­вет: x = 0,1 mB, 101001.
Задача 4

Оп­ре­де­лить чис­ло уров­ней кван­то­ва­ния для ми­ни­маль­но до­пус­ти­мо­го зна­че­ния А_кв = 25 дБ, ес­ли пик-фактор сигнала Q = 35 дБ.

Ре­ше­ние:

1. Оп­ре­де­ля­ем раз­ряд­ность ко­да m = (А_кв + Q – 5,58)/6 @ 10 согласно формуле 2.23.

2. Оп­ре­де­ля­ем чис­ло уров­ней по формуле 2.20: l = 2¹⁰ = 1024.

От­вет: N = 1024.
Задача 5

За­ко­ди­ро­вать от­че­ты на­пря­же­ния ана­ло­го­во­го сиг­на­ла с по­мо­щью сим­мет­рич­но­го ко­да, ес­ли U_АИМ1 = 25,2 mB, U_АИМ2 = –26,8 mB, ∆ = 0,5 mB, m = 7.

Ре­ше­ние:

1. 
   Оп­ре­де­ля­ем но­мер уров­ня кван­то­ва­ния: l = U_аим/D
   

l₁ = U_аим1 /D = 25,2/0,5 = 50,4 = 50

l₂ = U_аим2 /D = -26,8/0,5 = - 53,6 = - 54

2. Оп­ре­де­ля­ем ко­эф­фи­ци­ен­ты дво­ич­но­го ко­да при m = 7.

Так как у нас код сим­мет­рич­ный, то пер­вый (старший) разряд бу­дет ука­зы­вать по­ло­жи­тель­ный или от­ри­ца­тель­ный уро­вень кван­то­ва­ния:

«0» – от­ри­ца­тель­ный, а «1» – по­ло­жи­тель­ный уро­вень.

l ₁ = 50 = 12⁵ + 12⁴ + 02³ + 02² + 12¹ + 02⁰ =

= 132+ 116 + 08 + 04 + 12 + 01, по­лу­ча­ем 1110010.

l ₂ = -54 = - (12 ⁵+ 12⁴ + 02³ + 12² + 12¹ + 02⁰) =

= - (132 + 116 + 08 + 14 + 12 + 01), по­лу­ча­ем 0110110.

От­вет: 1110010, 0110110.
Задача 6

Оп­ре­де­лить ам­пли­ту­ду и знак от­сче­та ана­ло­го­во­го сиг­на­ла, передан­но­го с сис­те­мы пе­ре­да­чи с ИКМ с по­мо­щью сим­мет­рич­но­го кода в ви­де ко­до­вой ком­би­на­ции 11100110, ес­ли Δ = 0,1 mB.

Ре­ше­ние:

1. 
   Оп­ре­де­ля­ем но­мер уров­ня кван­то­ва­ния lиз кодовой комбинации 11100110.
   

Так как у нас код сим­мет­рич­ный, то пер­вый (старший) разряд 1 будет ука­зы­вать на по­ло­жи­тель­ный уро­вень кван­то­ва­ния. Исключаем ее из процесса декодирования.

l = 1100110₂ = 12⁶ + 12⁵ + 02⁴ + 02³ + 12² + 12¹ + 02⁰ =

= 164 + 132 + 016 + 08 + 14 + 12 + 01 = 102₁₀,

по­лу­ча­ем номер уровня квантования равный +102.

2. 
   Оп­ре­де­ля­ем зна­че­ние амплитуды сиг­на­ла U_аим = l × D:
   

U_аим = 102 × 0,1 = 10,2 mB.

При декодировании сигнала для компенсации ошибки квантования в декодере к амплитуде декодированного сигнала добавляется значение равное Δ/2.

В нашем случае U_{аим вых} = 10,2 + 0,05 = 10,25 mB

Ответ: U_{аим вых} = 10,25 mB