Теория к Аналитической геометрии. 1. Дать определение единичной, нулевой, верхней треугольной и нижней треугольной матрицы
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
1. Дать определение единичной, нулевой, верхней треугольной и нижней треугольной матрицы Единичная матрица — та, где по главной диагонали располагаются единицы, а все остальные элементы – нули Нулевая матрица — та, где все элементы равны 0 Верхнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю Нижнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю 2. Дать определение равенства матриц Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны. А = В, если a ij = b ij 3. Дать определение суммы матриц и произведения матрицы на число Суммой матриц А и В одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов: Складывать можно только матрицы одинакового размера Произведением матрицы А на ненулевое число называется матрица того же порядка, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов 4. Дать определение операции транспонирования матриц Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами 5. Дать определение операции умножения матриц Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы С, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B 6. Сформулировать свойства ассоциативности умножения матриц и дистрибутивности умножения относительно сложения Ассоциативность: Дистрибутивность: ; 7. Привести пример, показывающий, что умножение матриц некоммутативно Пример: 8. Дать определение обратной матрицы Обратная матрица A −1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E: A·A -1 = A -1 ·A = E 9. Записать формулы для нахождения обратной матрицы к произведению двух обратимых матриц и для транспонированной матрицы (А·В) -1 = B -1 · A -1 (А Т ) -1 = (А -1 ) Т 10. Сформулировать критерий существования обратной матрицы Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. |A| ≠ 0 11. Дать определение присоединенной матрицы и записать формулу для вычисления обратной матрицы Матрица называется присоединенной к квадратной матрице А, если элементы матрицы равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы А Формула: 12. Перечислить элементарные преобразования матриц Умножение строки/столбца на ненулевое число Перестановка строк/столбцов Прибавление к одной строке/столбцу матрицы другой ее строки/столбца, предварительно умноженной на некоторое ненулевое число 13. Записать формулы Крамера для решения системы линейных уравнений с обратимой матрицей Пусть △ - определитель матрицы системы, а △ n - определитель матрицы, полученной заменой n-того столбца на столбец свободных членов: x 1 = Δ 𝑥 1 Δ ; … ; x n = Δ 𝑥 𝑛 Δ 14. Дать определение минора. Какие миноры называются окаймляющими для данного минора матрицы? Минором М ij к элементу a ij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца Минор (r + 1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется окаймляющим для данного минора 15. Дать определение базисного минора и ранга матрицы В матрице A минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n Ранг матрицы — наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля 16. Сформулировать теорему о базисном миноре Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора 17. Сформулировать теорему об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях матрицы При элементарных преобразованиях строк/столбцов матрицы ее ранг не меняется 18. Перечислить различные формы записи системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ. Какая СЛАУ называется совместной? Векторная форма записи: A 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A n x n = B где: Матричная форма записи: A · X = B где: СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение 19. Дать определение однородной и неоднородной СЛАУ Однородная СЛАУ — это СЛАУ, у которой все свободные члены равны нулю В противном случае ее называют неоднородной (≠ 0) 20. Сформулировать критерий Кронекра-Капелли совместности СЛАУ СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы 21. Сформулировать теорему о свойствах решений однородной СЛАУ Если столбцы x (1) , x (2) , ..., x (n) — решения однородной СЛАУ Ax = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы 22. Дать определение фундаментальной системы решений ФСР однородной СЛАУ Любой набор из k = n−r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ Ax = 0, где n — количество неизвестных в системе, а r — ранг ее матрицы A, называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ 23. Сформулировать теорему о существовании ФСР однородной СЛАУ Пусть дана однородная СЛАУ Ax = 0 с n неизвестными и Rg(A) = r. Тогда существует набор из k = n−r решений x (1) , ..., x (k) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений 24. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой X = C 1 · X 1 + C 2 · X 2 + … + C n − r · X n – r где: X 1 , X 2 , …, X n − r — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений C 1 , C 2 , …, C n − r — произвольные постоянные 25. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ Любое решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой X о.н. = X ч.н. + C 1 · X 1 + C 2 · X 2 + … + C n − r · X n − r где: X ч.н. — какое–либо частное решение неоднородной системы A · X = B X 1 , X 2 , …, X n − r — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы A · X = O C 1 , C 2 , …, C n − r — произвольные постоянные |