12 Ранг матрицы. Лекция 12 Ранг матрицы
 Скачать 247.07 Kb.
|
|
Лекция 12: Ранг матрицы Б.М.Верников Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы — ее ранг. Сначала будут введены три ранга матрицы: по строкам, по столбцам и по минорам. Затем будет доказано, что все три ранга совпадают. Из доказательства этого фундаментального результата, известного как теорема о ранге матрицы, будет вытекать алгоритм нахождения ранга. Кроме того, как мы увидим, теорема о ранге позволит обосновать некоторые из сформулированных ранее алгоритмов и доказать упоминавшееся в лекции 8 утверждение о невырожденности матрицы перехода от одного базиса к другому. После этого мы докажем теорему о ранге произведения матриц. Понятие ранга матрицы часто возникает и играет важную роль в линейной алгебре и ее приложениях. В частности, оно оказывается очень полезным при исследовании систем линейных уравнений. Одним из проявлений этого является критерий совместности системы линейных уравнений, который формулируется на языке рангов основной и расширенной матриц системы. Этот результат будет доказан в конце лекции. Еще одному применению понятия ранга матрицы при анализе систем линейных уравнений будет посвящена следующая лекция. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Векторы-строки и векторы-столбцы матрицы Определение Рассмотрим произвольную матрицу A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a m1 a m2 . . . a mn Векторы, компонентами которых являются элементы строк матрицы A, т. е. векторы a 1 = (a 11 , a 12 , . . . , a 1n ), a 2 = (a 21 , a 22 , . . . , a 2n ), . . . , a m = (a m1 , a m2 , . . . , a mn ), называются векторами-строками матрицы A. Аналогично, векторы, компонентами которых являются элементы столбцов матрицы A, т. е. векторы a 1 = (a 11 , a 21 , . . . , a m1 ), a 2 = (a 12 , a 22 , . . . , a m2 ), . . . , a n = (a 1n , a 2n , . . . , a mn ), называются векторами-столбцами матрицы A. Векторы a 1 , a 2 , . . . , a m принадлежат пространству R n , а векторы a 1 , a 2 , . . . , a n — пространству R m Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Ранги матрицы по строкам, по столбцам и по минорам В следующем определении используется понятие минора матрицы, которое было введено в лекции 5. Определение Рангом матрицы A по строкам называется размерность подпространства, порожденного векторами-строками этой матрицы, а рангом матрицы A по столбцам — размерность подпространства, порожденного векторами-столбцами этой матрицы. Ранг матрицы A по строкам обозначается через r s (A), а ранг A по столбцам — через r c (A). Рангом матрицы по минорам называется наибольший из порядков тех миноров этой матрицы, которые не равны нулю. Ранг матрицы A по минорам обозначается через r m (A). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Теорема о ранге матрицы Б´ ольшая часть данной лекции будет посвящена доказательству следующего фундаментального результата. Теорема 1 (теорема о ранге матрицы) Пусть A — произвольная матрица. Ранг матрицы A по строкам равен ее рангу по столбцам и равен ее рангу по минорам. Прежде чем переходить к непосредственному доказательству этого утверждения, мы докажем ряд лемм. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по строкам (1) Лемма 1 Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга по строкам. Доказательство. Пусть A — произвольная матрица, а B — матрица, полученная из A с помощью некоторого элементарного преобразования. Обозначим векторы-строки матрицы A через a 1 , a 2 , . . . , a m , а векторы-строки матрицы B — через b 1 , b 2 , . . . , b m . Положим V A = a 1 , a 2 , . . . , a m и V B = b 1 , b 2 , . . . , b m . Требуется доказать, что dim V A = dim V B . Рассмотрим пять случаев, соответствующих пяти элементарным преобразованиям матриц. Как мы увидим, в большинстве случаев совпадают сами пространства V A и V B , что, естественно, влечет равенство их размерностей. Случай 1: B получена из A умножением i -й строки матрицы A на ненулевое число t. В этом случае b j = a j для всех j = 1, 2, . . . , m, j = i и b i = ta i . Ясно, что каждый из векторов b 1 , b 2 , . . . , b m лежит в V A , и потому V B ⊆ V A . С другой стороны, каждый из векторов a 1 , a 2 , . . . , a m лежит в V B (для всех векторов, кроме a i , это очевидно, а для a i вытекает из того, что a i = 1 t · b i ). Следовательно, V A ⊆ V B , и потому V A = V B Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по строкам (2) Случай 2: B получена из A прибавлением j -й строки матрицы A к ее i -й строке. В этом случае b k = a k для всех k = 1, 2, . . . , m, k = i и b i = a i + a j Как и в предыдущем случае, ясно, что каждый из векторов b 1 , b 2 , . . . , b m лежит в V A , и потому V B ⊆ V A . Остается справедливым и обратное утверждение: каждый из векторов a 1 , a 2 , . . . , a m лежит в V B (для всех векторов, кроме a i , это очевидно, а для a i вытекает из того, что a i = b i − b j ). Следовательно, V A ⊆ V B , и потому V A = V B Случай 3: B получена из A перестановкой i -й и j -й строк матрицы A. В этом случае равенство V A = V B очевидно. Случай 4: B получена из A перестановкой i -го и j -го столбцов матрицы A. В этом случае для всякого k = 1, 2, . . . , m вектор b k отличается от a k только порядком следования компонент (i -тая компонента вектора b k равна j -й компоненте вектора a k и наоборот). Ясно, что для любых чисел t 1 , t 2 , . . . , t m равенство t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t m a m = 0 выполнено тогда и только тогда, когда t 1 b 1 + t 2 b 2 + · · · + t m b m = 0. Следовательно, максимальное число линейно независимых векторов в пространствах V A и V B совпадает, т. е. dim V A = dim V B Случай 5: B получена из A добавлением или вычеркиванием нулевой строки. Как и в случае 3, здесь равенство V A = V B очевидно. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (1) Лемма 2 Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга по минорам. Доказательство. Вновь предположим, что A — произвольная матрица, а B — матрица, полученная из A с помощью некоторого элементарного преобразования. Пусть M — произвольный минор матрицы A. Матрицу, определителем которой является минор M, будем обозначать через A M Если матрица A M расположена в строках с номерами i 1 , i 2 , . . . , i k и столбцах с номерами j 1 , j 2 , . . . , j k матрицы A, то определитель матрицы, расположенной в строках и столбцах матрицы B с теми же номерами, обозначим через M . Ясно, что M — минор матрицы B, и порядки миноров M и M совпадают. Рассмотрим те же пять случаев, что и в доказательстве леммы 1. Случай 1: B получена из A умножением i -й строки матрицы A на ненулевое число t. Пусть M — произвольный минор матрицы A. Если матрица A M не содержит элементов i -й строки матрицы A, то M = M. В противном случае предложение 1 из лекции 5 влечет, что M = tM. Учитывая, что t = 0, получаем, что M = 0 тогда и только тогда, когда M = 0. Следовательно, максимальные порядки ненулевых миноров в матрицах A и B совпадают, т. е. r m (A) = r m (B). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (2) Случай 2: B получена из A прибавлением j -й строки матрицы A к ее i -й строке. Пусть M — ненулевой минор k-го порядка матрицы A. Покажем, что в матрице B тоже есть ненулевой минор k-го порядка. Если матрица A M не содержит элементов i -й и j -й строк матрицы A, то M = M = 0. Если A M содержит элементы как i -й, так и j -й строки матрицы A, то в силу предложения 6 из лекции 5 вновь получаем, что M = M = 0. Предположим, наконец, что A M содержит элементы i -й строки матрицы A, но не содержит элементов ее j -й строки. Если M = 0, то нужный нам факт установлен. Пусть теперь M = 0. Будем для простоты предполагать, что матрица A M расположена в первых k строках и первых k столбцах матрицы A, i = 1 и j = k + 1 (в общем случае доказательство вполне аналогично). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (3) Используя предложение 5 из лекции 5, мы получаем, что M = a 11 + a k+1 1 a 12 + a k+1 2 . . . a 1k + a k+1 k a 21 a 22 a 2k a k1 a k2 a kk = = a 11 a 12 . . . a 1k a 21 a 22 . . . a 2k a k1 a k2 . . . a kk + a k+1 1 a k+1 2 . . . a k+1 k a 21 a 22 a 2k a k1 a k2 a kk = = M + a k+1 1 a k+1 2 . . . a k+1 k a 21 a 22 a 2k a k1 a k2 a kk Обозначим последний из определителей, возникших в этой цепочке равенств, через D. Поскольку M + D = M = 0, имеем D = a k+1 1 a k+1 2 . . . a k+1 k a 21 a 22 a 2k a k1 a k2 a kk = −M = 0. (1) Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (4) В матрице, определитель которой мы обозначили через D, поменяем местами сначала первую строку и вторую, затем вторую строку и третью, . . . , наконец, (k − 1)-вую строку и k-тую. В результате, сделав k − 1 перестановку строк, мы получим минор k-го порядка матрицы B (матрица, определителем которой он является, расположена в первых k столбцах и в строках со второй по (k + 1)-вую матрицы B). Обозначим этот минор через D . Предложение 3 из лекции 5 и равенство (1) влекут, что D = (−1) k−1 D = (−1) k M = 0. Итак, если матрица A содержит ненулевой минор k-го порядка, то тем же свойством обладает и матрица B. Следовательно, максимальный порядок ненулевого минора матрицы B не может быть меньше, чем максимальный порядок ненулевого минора матрицы A. Иными словами, r m (A) r m (B). Матрица A может быть получена из матрицы B последовательным выполнением трех операций: умножением j -й строки матрицы B на −1, прибавлением j -й строки полученной матрицы к ее i -й строке и повторным умножением j -й строки полученной после этого матрицы на −1. Первая и третья из этих операций, как было установлено при разборе случая 1, не меняют ранга матрицы по минорам, а вторая, как мы только что убедились, может разве лишь увеличить его. Следовательно, r m (B) r m (A) и потому r m (A) = r m (B). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (5) Случай 3: B получена из A перестановкой i -й и j -й строк матрицы A. Пусть M — ненулевой минор k-го порядка матрицы A. Как и в предыдущем случае, покажем, что в матрице B тоже есть ненулевой минор k-го порядка. Если матрица A M не содержит элементов i -й и j -й строк матрицы A, то M = M = 0. Если A M содержит элементы как и i -й, так и j -й строки матрицы A, то в силу предложения 3 из лекции 5 M = −M = 0. Предположим, наконец, что A M содержит элементы i -й строки матрицы A, но не содержит элементов ее j -й строки. Как и в случае 2, будем для простоты предполагать, что матрица A M расположена в первых k строках и первых k столбцах матрицы A, i = 1 и j = k + 1 (в общем случае доказательство вполне аналогично). Положим F = a 21 a 22 . . . a 2k a k1 a k2 . . . a kk a 11 a 12 . . . a 1k Определитель, стоящий в правой части этого равенства, есть минор k-го порядка матрицы B (матрица, определителем которой он является, расположена в первых k столбцах и в строках со второй по (k + 1)-ю матрицы B). Поменяем в этом определителе местами сначала k-ю строку и (k − 1)-ю, затем (k − 1)-ю строку и (k − 2)-ю, . . . , наконец, вторую строку и первую. Мы получим минор M, отличный от 0. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (6) Поскольку мы сделали k − 1 перестановку строк, предложение 3 из лекции 5 влечет, что F = (−1) k−1 M = 0. Итак, если матрица A содержит ненулевой минор k-го порядка, то тем же свойством обладает и матрица B. Как и в предыдущем случае, отсюда вытекает, что r m (A) r m (B). Учитывая, что матрица A также получается из матрицы B перестановкой строк, получаем, что r m (B) r m (A), и потому r m (A) = r m (B). Случай 4: B получена из A перестановкой i -го и j -го столбцов матрицы A. Этот случай разбирается вполне аналогично предыдущему. Надо только дополнить ссылку на предложение 3 из лекции 5 упоминанием о предложении 9 из той же лекции. Случай 5: B получена из A добавлением или вычеркиванием нулевой строки. Пусть M — произвольный ненулевой минор матрицы A. В силу предложения 2 из лекции 5 матрица A M не содержит нулевых строк. Это означает, что нулевая строка, добавленная к из A при переходе от A к B, или вычеркнутая из A при этом переходе проходит «за пределами» матрицы A M . Следовательно, M является минором не только матрицы A, но и матрицы B. Таким образом, вычеркивание из матрицы A нулевой строки не может изменить максимальный порядок ее ненулевого минора. Значит, и в этом случае r m (A) = r m (B). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Ранг ступенчатой матрицы по строкам (1) Лемма 3 Ранг ступенчатой матрицы по строкам равен числу ее ненулевых строк. Доказательство. Пусть A = (a ij ) — ступенчатая матрица, число ненулевых строк которой равно k. Очевидно, что любой набор из более чем k векторов-строк матрицы A (если он существует, т. е. если A содержит более k строк) содержит нулевой вектор и потому линейно зависим (см. лемму 4 в лекции 7). Следовательно, r s (A) k. Для завершения доказательства достаточно установить, что первые k векторов-строк матрицы A линейно независимы. Без ограничения общности можно считать, что матрица A имеет вид a 11 a 12 a 13 . . . a 1k . . . a 1n 0 a 22 a 23 . . . a 2k . . . a 2n 0 0 a 33 . . . a 3k . . . a 3n 0 0 0 . . . a kk . . . a kn 0 0 0 . . . 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 . . . 0 , (2) где a 11 , a 22 , . . . , a kk = 0. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Ранг ступенчатой матрицы по строкам (2) (В самом деле, если это не так, то матрицу A можно привести к виду (2) с помощью перестановок столбцов. В силу леммы 1 ранг A по строкам при этом не изменится.) Обозначим первые k векторов-строк матрицы A через a 1 , a 2 , . . . , a k . Предположим, что t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k = 0 (3) для некоторых чисел t 1 , t 2 , . . . , t k . Приравнивая первые, вторые, . . . , k-тые компоненты этого векторного равенства, мы получим следующую однородную систему линейных уравнений: t 1 a 11 = 0, t 1 a 12 + t 2 a 22 = 0, t 1 a 13 + t 2 a 23 + t 3 a 33 = 0, t 1 a 11 + t 2 a 2k + t 3 a 3k + · · · + t k a kk = 0. (4) Из первого уравнения этой системы и того, что a 11 = 0, вытекает, что t 1 = 0. Подставляя это значение t 1 во второе уравнение системы (4), получаем, что t 2 a 22 = 0. Поскольку a 22 = 0, отсюда вытекает, что t 2 = 0. Аналогичным образом из третьего уравнения системы (4) выводится, что t 3 = 0, . . . , из k-го уравнения этой системы — что t k = 0. Итак, из равенства (3) вытекает, что t 1 = t 2 = · · · = t k = 0. Следовательно, векторы a 1 , a 2 , . . . , a k линейно независимы. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Ранг ступенчатой матрицы по минорам Лемма 4 Ранг ступенчатой матрицы по минорам равен числу ее ненулевых строк. Доказательство. Вновь предположим, что A = (a ij ) — ступенчатая матрица, число ненулевых строк которой равно k. Очевидно, что любой минор более чем k-го порядка матрицы A (если он существует, т. е. если A содержит более k строк и более k столбцов) является определителем матрицы, которая содержит нулевую строку, и потому равен 0 (см. предложение 2 из лекции 5). Следовательно, r m (A) k. Для завершения доказательства достаточно установить, что матрица A имеет ненулевой минор порядка k. Без ограничения общности можно считать, что матрица A имеет вид (2), где a 11 , a 22 , . . . , a kk = 0. (Если это не так, то матрицу A можно привести к виду (2) с помощью перестановок столбцов. В силу леммы 2 ранг A по минорам при этом не изменится.) Матрица, расположенная в первых k строках и первых k столбцах матрицы A, является верхнетреугольной, и все элементы на ее главной диагонали отличны от 0. Определитель этой матрицы, являющийся минором k-го порядка матрицы A, отличен от 0 (см. предложение 11 из лекции 5). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Доказательство теоремы о ранге Предложение 9 из лекции 5 с очевидностью влечет Лемма 5 При транспонировании матрицы ее ранг по минорам не меняется. Теперь мы готовы завершить доказательство теоремы о ранге матрицы. Пусть A — произвольная матрица, а B — ступенчатая матрица, полученная при приведении матрицы A к ступенчатому виду. Тогда r s (A) = r s (B) = r m (B) = r m (A) (первое из этих равенств вытекает из леммы 1, второе — из лемм 3 и 4, а третье — из леммы 2). Таким образом, ранг A по строкам равен рангу A по минорам. Очевидно, что r c (A) = r s (A ). Используя только что доказанное совпадение рангов произвольной матрицы по строкам и по минорам и лемму 5, имеем r c (A) = r s (A ) = r m (A ) = r m (A). Таким образом, ранг A по столбцам равен рангу A по минорам (а значит, и рангу A по строкам). Теорема о ранге матрицы позволяет ввести следующее Определение Рангом матрицы называется число, равное любому из трех ее вышеопределенных рангов. Ранг матрицы A мы будем обозначать через r (A). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Алгоритм нахождения ранга матрицы. Некоторые ранее сформулированные алгоритмы (1) Из лемм 1 и 3 вытекает следующий Алгоритм нахождения ранга матрицы Приведем данную матрицу к ступенчатому виду. Число ненулевых строк в полученной матрице равно рангу исходной матрицы. В лекции 7 был приведен без обоснования алгоритм определения линейной зависимости или независимости системы векторов из пространства R n . Напомним, в чем он состоит. Запишем данные векторы в матрицу по строкам и начнем приводить эту матрицу к ступенчатому виду. Если в процессе элементарных преобразований возникнет хотя бы одна нулевая строка, система линейно зависима. Если мы доведем матрицу до ступенчатого вида и нулевые строки в процессе преобразований не возникнут, система линейно независима. Теперь мы в состоянии обосновать этот алгоритм. При приведении матрицы к ступенчатому виду мы заменяем каждую строку матрицы на нетривиальную линейную комбинацию ее строк. Поэтому возникновение нулевой строки означает, что векторы-строки исходной матрицы линейно зависимы. Если же нулевых строк не возникло, то в силу лемм 1 и 3 размерность пространства, порожденного векторами-строками исходной матрицы равна числу этих строк, а значит эти векторы-строки линейно независимы. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Некоторые ранее сформулированные алгоритмы (2) В лекции 9 был приведен без обоснования алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства пространства R n , порожденного данным набором векторов. Напомним, в чем он состоит. Запишем данные векторы в матрицу по строкам и приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом нашего подпространства, а число этих строк равно его размерности. Теперь мы в состоянии обосновать этот алгоритм. В самом деле, в силу алгоритма нахождения ранга матрицы число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы равно рангу исходной матрицы по строкам, т. е. размерности пространства, порожденного ее векторами-строками. Далее, как проверено в процессе доказательства леммы 3, справедливо следующее Замечание 1 Ненулевые векторы-строки ступенчатой матрицы линейно независимы. Следовательно, ненулевые векторы-строки полученной нами ступенчатой матрицы линейно независимы и их число равно размерности пространства, порожденного этими векторами-строками. В силу замечания 8 из лекции 8 эти векторы-строки образуют базис порожденного ими пространства. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Невырожденность матрицы перехода от одного базиса к другому В лекции 8 было введено понятие матрицы перехода от одного базиса к другому и утверждалось без доказательства, что определитель этой матрицы не равен 0. Теперь мы легко можем доказать этот факт. В самом деле, матрица перехода от одного базиса к другому — это квадратная матрица, порядок которой равен размерности рассматриваемого пространства. Обозначим это число через n. Векторами-столбцами этой матрицы являются координаты векторов нового базиса в старом. Следовательно, векторы-столбцы матрицы перехода линейно независимы, и потому ранг матрицы перехода по столбцам равен n. В силу теоремы о ранге ее ранг по минорам также равен n. Поскольку единственным минором n-го порядка квадратной матрицы порядка n является определитель этой матрицы, мы получаем, что определитель матрицы перехода не равен 0. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Ранг произведения матриц (1) Нашей следующей целью является доказательство следующего утверждения. Теорема 2 Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Доказательство. Пусть A = (a ij ) — матрица размера k × , а B = (b ij ) — матрица размера × m. Положим C = AB. По определению произведения матриц, первый столбец матрицы C имеет вид a 11 b 11 + a 12 b 21 + · · · + a 1 b 1 a 21 b 11 + a 22 b 21 + · · · + a 2 b 1 a k1 b 11 + a k2 b 21 + · · · + a k b 1 = = b 11 · a 11 a 21 a k1 + b 21 · a 12 a 22 a k2 + · · · + b 1 · a 1 a 2 a k Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Ранг произведения матриц (2) Таким образом, первый столбец матрицы C является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Аналогичное утверждение можно получить и для любого другого столбца матрицы C . Итак, все столбцы матрицы C являются линейными комбинациями столбцов матрицы A. Следовательно, подпространство, порожденное векторами-столбцами матрицы C , содержится в подпространстве, порожденном векторами-столбцами матрицы A. Размерность первого подпространства не превосходит поэтому размерности второго. Это означает, что ранг по столбцам матрицы C не превосходит ранга по столбцам матрицы A, т. е. r (C ) r (A). Рассуждая аналогично, легко убедиться в том, что строки матрицы C являются линейными комбинациями строк матрицы B. Отсюда вытекает неравенство r (C ) r (B). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Ранг произведения матриц (частный случай) В некоторых случаях ранг произведения матриц оказывается равным рангу одного из сомножителей. Укажем один из таких случаев. Следствие 1 Если A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка и |A| = 0, то ранг матрицы AB равен рангу матрицы B. Доказательство. Положим C = AB. По теореме 2 r (C ) r (B). В силу критерия обратимости матрицы существует матрица A −1 . Равенство C = AB умножим слева на A −1 . Получим A −1 C = A −1 (AB) = (A −1 A)B = EB = B, т. е. B = A −1 C . Применяя теорему 2 к последнему равенству получаем неравенство r (B) r (C ). Следовательно, r (B) = r (C ). Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Теорема Кронекера–Капелли (1) В оставшейся части лекции мы продемонстрируем, как понятие ранга матрицы возникает при исследовании систем линейных уравнений. Следующее утверждение назывется критерием совместности системы линейных уравнений или теоремой Кронекера–Капелли. Теорема 3 Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы. Доказательство. Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 , a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m (5) Обозначим ее основную матрицу через A, а расширенную — через B. Векторы-столбцы матрицы A будем обозначать через a 1 , a 2 , . . . , a n , а столбец свободных членов — через b. Пространство, порожденное векторами-столбцами матрицы A, условимся обозначать через V A , а пространство, порожденное векторами-столбцами матрицы B, — через V B Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Теорема Кронекера–Капелли (2) Заметим, что система (5) может быть записана в виде векторного равенства x 1 a 1 + x 2 a 2 + · · · + x n a n = b. Следовательно, система (5) совместна в том и только в том случае, когда вектор b является линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы A, т. е. когда b ∈ V A Пусть система (5) совместна. Тогда вектор b принадлежит пространству V A . Это значит, что векторы-столбцы матрицы B принадлежат V A , и поэтому V B ⊆ V A . Но столбцы матрицы A являются столбцами матрицы B. Отсюда следует, что V A ⊆ V B . Следовательно, V A = V B . Но тогда и dim V A = dim V B , т. е. ранг по столбцам матрицы A равен рангу по столбцам матрицы B. В силу теоремы о ранге матрицы, ранги матриц A и B равны. Предположим теперь, что ранги матриц A и B равны. Положим r = r (A) = r (B). Базис пространства V A состоит из r векторов. Для удобства обозначений будем считать что он состоит из первых r векторов-столбцов матрицы A, т. е. из векторов a 1 , a 2 , . . . , a r . Эти векторы принадлежат и пространству V B . Размерность пространства V B равна r . Следовательно, векторы a 1 , a 2 , . . . , a r образуют базис пространства V B Вектор b принадлежит V B и потому является линейной комбинацией базисных векторов. Итак, вектор b является линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 , . . . , a r , а значит и линейной комбинацией всей системы векторов-столбцов матрицы A. Следовательно, система (5) совместна. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы Теорема Кронекера–Капелли (комментарий) Отметим, что теорему Кронекера–Капелли легко вывести уже из метода Гаусса. В самом деле, как мы видели в лекции 4, система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда при приведении ее расширенной матрицы к ступенчатому виду не возникает строки, в которой все элементы, кроме последнего, равны 0, а последний элемент отличен от 0. Это, очевидно, равносильно тому, что при приведении к ступенчатому виду основной и расширенной матриц системы получатся матрицы с одинаковым числом ненулевых строк. С учетом алгоритма нахождения ранга матрицы, это, в свою очередь, равносильно тому, что ранги основной и расширенной матриц системы равны. Таким образом, теорема Кронекера–Капелли не дает ничего нового по сравнению с методом Гаусса для анализа той или иной конкретной системы. Но она чрезвычайно полезна с теоретической точки зрения, так как используется в доказательствах целого ряда важных утверждений. Б.М.Верников Лекция 12: Ранг матрицы |