Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.. Раздел 1. Задача 1. Решение. Задана квадратная матрица А. Ненулевой вектор Х

Название	Решение. Задана квадратная матрица А. Ненулевой вектор Х
Анкор	Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка
Дата	09.06.2022
Размер	27.61 Kb.
Формат файла
Имя файла	Раздел 1. Задача 1.docx
Тип	Решение #581868

З А Д А Н И Е 1

Аналитическая геометрия

Раздел №1. Задача 1. Вариант 20.

Дано: А=

Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

Решение. Задана квадратная матрица А. Ненулевой вектор Х= называется собственным вектором матрицы А, если существует такое ненулевое число λ, что AX=λX. Число λ при этом называется собственным значением вектора Х относительно матрицы А. Матрица А-λЕ называется характеристической матрицей матрицы А, многочлен IA-λEI называется характеристическим многочленом матрицы А, уравнение IA-λEI =0 называется характеристическим уравнением матрицы А.

Собственными числами матрицы А являются корни характеристического уравнения IA-λEI =0 и только они.
А=

Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(-2 - λ)x + 1y + 2z = 0
1x + (0 - λ)y + 1z = 0
-1x + 1y + (3 - λ)z = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
(-2 - λ) • ((0 - λ) • (3 - λ)-1 • 1)-1 • (1 • (3 - λ)-1 • 2)+(-1 • (1 • 1-(0 - λ) • 2)) = 0
После преобразований, получаем:
-λ³+λ²+6*λ = 0;

-λ(λ²– λ – 6) = 0;

1) λ₂ = 0;

2) λ²– λ – 6 = 0; λ₁= -2; λ₃ = 3.

Распределим собственные значения матрицы по порядку возрастания:

λ₁= -2; λ₂ = 0; λ₃ = 3.
а) Для отыскания собственного вектора подставим найденные значения λ₂ = -2 в систему уравнений:

(-2 – (-2))x + y + 2z = 0
x +(0-(-2)y + z = 0
-x + y +(3-(-2)z = 0

Решим полученную систему методом Гаусса. Выпишем основную матрицу этой системы.

Меняем 1-ую и 2-ую строку местами, Третью строку разделим на 3:

В матрице 2-ая и 3-я строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть.

Найдем ранг матрицы: rang(A) = 2

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно. Этот минор является базисным.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

Система имеет множество решений

Зададим: Пусть

Собственный вектор: X=

б) Для отыскания собственного вектора подставим найденные значения λ=λ₂ =0 в систему уравнений:

(-2 – 0)x + y + 2z = 0
x +(0-0)y + z = 0
-x + y +(3-0)z = 0.

Решим полученную систему методом Гаусса. Выпишем основную матрицу этой системы.

;

Умножим вторую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой; Добавим 3-ю строку ко второй

;

Система имеет множество решений

Зададим: Пусть

Собственный вектор: X=

в) Для отыскания собственного вектора подставим найденные значения λ=λ₃ =3 в систему уравнений:

(-2 – 3)x + y + 2z = 0
x +(0-3)y + z = 0
-x + y +(3-3)z = 0.

Решим полученную систему методом Гаусса. Выпишем основную матрицу этой системы.