Практическая работа. Практическое занятие. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
 Скачать 28.58 Kb.
|
|
Практическое занятие Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решением системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Для этой системы линейных уравнений вида матрица А*=  называется расширенной матрицей системыМетод Гаусса Суть метода заключается в том, что систему уравнений с помощью элементарных преобразований приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называются прямым ходом. Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход). Элементарными преобразованиями систем являются: 1) Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число 2) Сложение и вычитание уравнений 3) Перестановка уравнений системы местами. 4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса  Составим расширенную матрицу системы. А* =  . Выполним над этой матрицей следующие преобразования: поменяем местами 1 и 2 строки; прибавим к элементам 2 строки 1-ю строку, умноженную на -2; прибавим к элементам 3 строки 1-ю строку, умноженную на -7; прибавим к элементам 3 строки 2-ю строку, умноженную на -3; А* =  Получили систему с треугольной матрицей. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:  , откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1. |