идз доп. 1. формулировка задания и его объем
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАНИЯ И ЕГО ОБЪЕМ В данной контрольной работе предлагается решить задачи по вариантам, включающим соответствующие задания. Каждое задание включает тридцать задач. Студент должен решить одну задачу из задания в соответствии со своим вариантом. Номер варианта определяется по списку в журнале. В задания включены задачи по темам: 2 семестр: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление функции одной переменной», «Дифференциальные уравнения», «Кратные интегралы», «Теория рядов». 2. ПОРЯДОК ЗАЩИТЫ И ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТУДЕНТА ЗА ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Контрольные работы должны быть представлены для рецензирования в период третьей контрольной точки. 2. Контрольные работы, не содержащие задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются. 3. В конце тетради надо оставить несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. 4. Защита проходит в форме собеседования по темам контрольной работы. 3. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ 2 СЕМЕСТРА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Функция нескольких переменных (ФНП). Область определения. Предел и непрерывность ФНП. Примеры. 2. Частные производные ФНП. Пример. 3. Полный дифференциал ФНП. Пример. 4. Производные и дифференциалы высших порядков ФНП. Примеры. 5. Производная сложной функции (случай нескольких независимых переменных). Примеры. 6. Производная функции двух переменных, заданной в неявном виде. Пример. 7. Экстремум ФНП. Необходимое и достаточное условия экстремума ФНП. Пример. 8. Условный экстремум ФНП. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 9. Первообразная функции, неопределенный интеграл и его свойства. 10. Таблица интегралов. Методы вычисления неопределенного интеграла (непосредственное интегрирование, подстановкой, по частям). Пример. 11. Многочлен. Дробно-рациональная функция. Интегрирование простейших рациональных дробей. Пример. 12. Интегрирование рациональных дробей. Пример. 13. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: универсальная тригонометрическая подстановка, частные тригонометрические подстановки. Пример. 14. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: интегрирование произведений синусов и косинусов. Пример. 15. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: интегрирование степеней тангенса и котангенса. Пример. 16. Интегрирование иррациональностей: дробно-линейная подстановка. Пример. 17. Интегрирование иррациональностей: интегрирование квадратичных иррациональностей. Пример. 18. Интегрирование иррациональностей: тригонометрическая подстановка. Пример. 19. Интегрирование иррациональностей: Интегрирование дифференциального бинома. Пример. 20. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 21. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. 22. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. 23. Методы вычислений определенного интеграла (непосредственное, подстановкой, по частям).Пример. 24. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. 25. Приложения определенного интеграла: вычисление объема тела вращения. 26. Приложения определенного интеграла: вычисление длины кривой. 27. Несобственные интегралы. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 28. Дифференциальные уравнения 1-го порядка (основные понятия, определения), задача Коши. 29. ДУ с разделяющимися переменными.Пример. 30. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.Пример. 31. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение методом Бернулли и методом вариации произвольных постоянных. Уравнение Бернулли. Пример. 32. Уравнения в полных дифференциалах. Пример. 33. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Пример. 34. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Пример. 35. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. 36. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов. Пример. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 37. Двойные интегралы, определение, вычисление. 38. Замена переменных в двойном интеграле. 39. Тройные интегралы, определение, вычисление. 40. Замена переменных в тройном интеграле. 41. Применение кратных интегралов к вычислению площадей, объемов. ТЕОРИЯ РЯДОВ 42. Основные понятия числового ряда. Свойства сходящихся рядов. 43. Необходимый признак сходимости числовых рядов. Ряд геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. 44. Признаки сравнения положительных рядов. Пример. 45. Признак Даламбера. Пример. 46. Радикальный и интегральный признаки Коши. Пример. 47. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. 48. Общий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. 49. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 50. Функциональные ряды, основные понятия. 51. Сходимость степенных рядов. Теорема Н. Абеля. 52. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. 53. Свойства степенных рядов. ТЕМА: Интегральное исчисление функции одной переменной. При решении задач этой темы необходимо знать: 1. Определение и свойства неопределенного интеграла. 2. Таблицу основных интегралов. 3. Основные методы интегрирования. 4. Стандартные методы интегрирования наиболее часто встречающихся классов функций. 5. Определение, свойства и способы вычисления определенного интеграла. 6. Несобственные интегралы и их свойства. 7. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Табличные интегралы 1. C dx 0 2. C x dx x 1 1 , ( 1 ). C x dx 1 , C x x dx 2 , C x x dx 1 2 3. C x x dx ln 4. C a a dx a x x ln , C e dx e x x 5. C x xdx cos sin 6. C x xdx sin cos 7. C tgx x dx 2 cos 8. C ctgx x dx 2 sin 9. C a x arctg a a x dx 1 2 2 ; C arctgx x dx 1 2 10. C a x x a dx arcsin 2 2 ; C x x dx arcsin 1 2 11. C a x a x a a x dx ln 2 1 2 2 , 0 a 12. C x x x dx 2 2 ln 13. C chx shxdx 14. C shx chxdx 15. C x tgxdx cos ln . 16. C x ctgxdx sin ln 17. C x tg x dx 2 ln sin 18. C x tg x dx 4 2 ln cos ТЕМА: Обыкновенные дифференциальные уравнения. При решении задач этой темы необходимо знать: 1. Типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения. 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. 3. Методы решения линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ). 4. Методы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений (ЛНДУ). ДУ 1-го порядка ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ. Уравнения Бернулли ДУ в полных дифференциалах 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 dy y Q x P dx y Q x P )) ( ) ( (: 1 2 y Q x P , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 dy y Q y Q dx x P x P или ) ( ) ( 2 1 y f x f y , ) ( ) ( 2 1 y f x f dx dy )) ( (: 2 y f dx x f y f dy ) ( ) ( 1 2 , dx x f y f dy ) ( ) ( 1 2 0 ) ; ( ) ; ( dy y x Q dx y x P , y y f x , u x y , ux y , y u x u 1) ) ( ) ( x q y x p y уравнение линейное относительно y * метод Бернулли: uv y , v u v u y * метод Лагранжа: dx x p e x C y ) ( ) ( или C dx e x q e y dx x p dx x p ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y q x y p x уравнение линейное относительно x 2) n y x q y x p y ) ( ) ( , 0 n , 1 n 0 ) ; ( ) ; ( dy y x Q dx y x P , x y x Q y y x P ) ; ( ) ; ( 1 метод y y x U y U Q y U y dx y x P y x U P x U ) ; ( ; ) ( ) ; ( ) ; ( , 2 метод 0 0 0 0 ) ; ( ) ; ( C dy y x Q dx y x P y y x x ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка ЛОДУ 2-го порядка ЛНДУ 2-го порядка Метод Лагранжа для ЛНДУ 1. ) ( ) ( x f y n В частности: ) (x f y , 1 ) ( ) ( C x F dx x f y , 2 1 ) ( C dx C x F y 2. 0 ) , , ( y y x F , ) (x p y , ) (x p y 3. 0 ) , , ( y y y F , ) ( y p y , p p y 0 qy y p y , характеристическое уравнение: 0 2 q pk k 1. R k k 2 1 , то x k x k e C e C y 2 1 2 1 * 2. R k k 2 1 , то x C C e y x k 2 1 * 1 3. i k 2 , 1 , то x C x C e y x sin cos 2 1 * ) (x f qy y p y y y y * I ) ( ) ( x P e x f n x , то – не является корнем характеристического уравнения: ) (x Q e y n x – является корнем характеристического уравнения кратности k : ) (x Q e x y n x k II x x Q x x P e x f m n x sin ) ( cos ) ( ) ( i – не является корнем характе- ристического уравнения: x x Q x x P e y N N x sin ) ( cos ) ( i – является корнем характеристического уравнения кратности k : x x Q x x P e x y N N x k sin ) ( cos ) ( 2 2 1 1 * y C y C y , 2 2 1 1 ) ( ) ( y x C y x C y , ). ( , 0 2 2 1 1 2 2 1 1 x f y C y C y C y C ТЕМА: Теория рядов. При решении задач этой темы необходимо знать: 1. Числовые ряды, основные определения. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости. 2. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости. 3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. 4. Признак Лейбница. 5. Функциональные и степенные ряды. Область сходимости степенных рядов. Теорема Абеля. 6. Ряды Тейлора и Маклорена. 7. Разложение функций в степенные ряды. 1. Числовые ряды составитель Тимофеева I. Ряд геометрической прогрессии – сходится, – расходится II. Гармонический ряд Всегда расходится III. Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) – расходится – сходится 2. Необходимый признак сходимости ряда если сходится, то – расходится Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Первый признак сравнения и из сходимости (2) сходимость (1) из расходимости (1) расходимость (2) Второй признак сравнения (предельный) и (1) и (2) ведут себя одинаково Признак Даламбера – сходится – расходится – вопрос остается открытым Радикальный признак Коши – сходится – расходится – вопрос остается открытым Интегральный признак Коши - «+», непрерывна, монотонно убывает на [1;∞) ведут себя одинаково Знакопеременные ряды Признак Лейбница (члены ряда монотонно убывают) (общий член ряда 0, при n ∞) то ряд сходится 2 этапа o Исследование ряда из абсолютных величин (осуществляется одним из признаков для знакоположительных рядов) o Проверка признака Лейбница Приложение 1 (титульный лист) Контрольная работа по математике студента ____ курса группы _________ ФИО Вариант |