Программа_Содержание билета_Критерии_Exam_BTS-1_EN-1_19-20_MatAn. Программа экзамена по курсу "Математический анализ"

• Название: Программа экзамена по курсу "Математический анализ"
• Дата: 25.06.2021
• Размер: 130 Kb.
• Имя файла: Программа_Содержание билета_Критерии_Exam_BTS-1_EN-1_19-20_MatAn.doc
• Тип: Программа экзамена; #221568

Программа экзамена по курсу "Математический анализ", БТС-1, ЭН-1

2-й семестр 2020-21 уч. год

Неопределенный интеграл

1. 
   Понятие первообразной, ее свойства.
   
2. 
   Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
   

3. Таблица неопределенных интегралов.

4. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

5. Интегрирование рациональных дробей, иррациональностей, тригонометрических выражений (уметь вычислять интегралы).

Определенный интеграл

1. Задача о вычислении площади. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

2. Необходимое условие интегрируемости. Пример ограниченной неинтегрируемой функции.

3. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, сохранение неравенства).

4. Теорема о среднем для определенного интеграла.

5. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.

6. Формула Ньютона-Лейбница.

7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

8. Понятие несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Примеры.

9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения.

10. Понятие абсолютно и условно сходящегося несобственного интеграла. Примеры.

11. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.

12. Длина дуги кривой. Вывод формулы для случая кривой, заданной уравнением .

13. Объем тела вращения.

14. Площадь поверхности тела вращения.
Функции многих переменных

1. 
   Определение предела функции многих переменных. Свойства (арифметические, сохранение знака).
   
2. 
   Определение непрерывности функции многих переменных. Свойства (арифметические, сохранение знака). Непрерывность сложной функции.
   
3. 
   Частные производные. Теорема о смешанных производных (без док-ва).
   
4. 
   Понятие дифференцируемости функций многих переменных. Дифференциал. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.
   
5. 
   Применение первого дифференциала в приближенных вычислениях.
   
6. 
   Дифференцирование сложной функции.
   
7. 
   Формулы вычисления производных неявной функции.
   
8. 
   Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной явным или неявным уравнением.
   
9. 
   Производная по направлению и градиент. Геометрический и физический смысл градиента.
   
10. 
    Дифференциалы высших порядков функции многих переменных.
    
11. 
    Формула Тейлора для функции многих переменных.
    
12. 
    Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия. Стационарные точки. Достаточные условия (представление приращения функции в стационарной точке через дифференциал 2-го порядка и достаточные условия на языке квадратичных форм и через угловые миноры матрицы Гессе).
    

Кратные интегралы.

1. 
   Определение двойного интеграла: для случая прямоугольной области, для случая произвольной области.
   
2. 
   Геометрический и физический смысл двойного и тройного интегралов.
   

3. Вычисление двойных и тройных интегралов путем перехода к повторным интегралам.

4. Полярная, цилиндрическая и сферическая система координат и их якобианы. Формулы перехода к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам в кратных интегралах. Обоснование формулы для полярной системы координат в случае двойного интеграла.

5. Понятие площади поверхности, заданной уравнением . Формула для вычисления площади.

Содержание экзаменационного билета (БТС-1, ЭН-1, 2 семестр, 2020-21 учебный год)

1. 
   Неопределенный интеграл (замена переменной, интегрирование по частям, рациональная дробь, тригонометрическое или иррациональное выражение).
   

2. Приложения определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, площадь поверхности вращения, объем тела вращения).

3. Функции многих переменных (вычисление частных производных, дифференциалов 1-го и 2-го порядков, градиентов, производных по направлению).

4. Функции многих переменных (касательная плоскость и нормаль к поверхности, применение дифференциала для приближенных вычислений, формула Тейлора, нахождение экстремумов).

5. Кратные интегралы (вычисление, в том числе переход к полярным, цилиндрическим, сферическим координатам, расстановка пределов интегрирования).

6. Кратные интегралы (вычисление масс, объемов, площадей поверхностей).
Время на подготовку ответа на билет – 40 минут.

Экзамен для всех начинается одновременно.
Критерии оценок

Максимальное количество баллов за одно задание – 4. Если сделаны негрубые ошибки (метод решения верный, но есть описки, сделаны вычислительные ошибки в конце решения), то за задание может быть поставлено 2 или 3 балла. Незачтенное задание оценивается в 0 баллов.
Если набрано менее 10 баллов, то за ответ на экзамене выставляется 0 баллов.