1 Классификация игровых моделей. Примеры формализации экономических ситуаций в виде игровых моделей. Игрой теоретикоигровой моделью
 Скачать 45.61 Kb.
|
 1 Классификация игровых моделей. Примеры формализации экономических ситуаций в виде игровых моделей. Игрой (теоретико-игровой моделью) называется упрощённая формализованная модель конфликтной ситуации, а конфликтующие стороны называются игроками. Ситуация называется конфликтной, если в ней сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих различные (в частном случае противоположные) цели. Однократный розыгрыш игры от начала и до конца называется партией игры. Результатом партии являются платежи (выигрыши или проигрыши игроков). В зависимости от дискретности или непрерывности множества стратегий игры соответственно делятся на дискретные или непрерывные,причем дискретные игры в зависимости от конечности или бесконечности множества стратегий могут быть соответственнои конечными или бесконечными, непрерывные игры – всегда бесконечные. В зависимости от числа участвующих в игре игроков игры бывают N лиц, которые в зависимости от того, разрешены коалиции (кооперации) игроков или нет, могут быть соответственно коалиционными (кооперативными) или некоалиционными (некооперативными), или 2-х лиц (парными), которые в зависимости от суммарной величины платежа могут быть антагонистическими, если суммарный платеж игроков равен нулю, или неантагонистическими, если суммарный платеж не равен нулю. Заметим, что в антагонистической игре интересы игроков строго противоположны, т.е. выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу другого, а в неантагонистической – просто не совпадают, что ведет к ситуации, когда увеличение выигрыша одного игрока ведет к уменьшению выигрыша другого. Игра называется игрой с полной информацией, если игрокам известна вся предыстория игры, т.е. все личные и случайные ходы противников (противника), в противном случае имеем игру с неполной информацией. В зависимости от суммарного платежа игроков игры делятся на игры с нулевой суммой, если суммарный платеж равен нулю, и с ненулевой суммой, в противном случае. Примером игры с нулевой суммой является парная антагонистическая игра. И, наконец, в зависимости от числа ходов в партии игры могут быть одноходовые и многоходовые. Наиболее разработанными в теории игр являются модели игр 2-х лиц с нулевой суммой (антагонистических игр). Формализация: Два игрока имеют право загадывать целые числа от 1 до 5, что составляет их соответствующие стратегии. В случае если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый – второму. Формализация игры "Красное-чёрное". Есть две команды. Задача каждой команды заработать как можно больше очков. Команда зарабатывает (или теряет) очки, делая выбор: играть на черное или на красное. Мы 1я команда. Система очков: Черное черное (1я -3, 2я -3), черное красное (1я 5, 2я -5), красное черное (1я 3 2я 5), красное красное (-5, 3). 2 Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Примеры. Рассмотрим матричную mxn - игру с игроками А и В, в которой игрок А обладает m чистыми стратегиями  , а игрок В –m чистыми стратегиями . Значения функции выигрыша игрока А обозначим через  , т. е.  .Задача состоит в выборе такой стратегии, которая способствует достижению поставленной цели - максимизации выигрыша для игрока А или минимизации проигрыша для игрока В. Перед игроком А стоит задача выбора чистой стратегии из множества  , эффективной в определенном смысле, в результате применения которой он получит максимально возможный гарантированный выигрыш. Если игрок А выбрал стратегию  (i=1,…,m), то его выигрышем может быть один из выигрышей  , расположенных в i–й строке матрицы, в зависимости от выбранной игроком В стратегии. Предполагая поведение игрока А крайне осмотрительным, необходимо считать, что игрок В сыграет наилучшим для себя образом и на выбор игроком А стратегии выберет ту стратегию  , при которой выигрыш игрока А окажется минимальным. Обозначим минимальный среди выигрышей  и назовем его показателем эффективности стратегии А,. Продолжая действовать разумно, игрок А должен выбрать ту стратегию, которая максимизирует показатель эффективности, т.е. для которой число  максимально. Если обозначить это максимальное число через  , то   Описанный принцип называется максиминным принципом. Стратегия  , соответствующая максимину  , называется максиминной стратегией игрока А. Аналогично вводится критерий оценки выигрышей для игрока В. Как игрок В предполагает, что игрок А играет наилучшим для себя образом, то выигрышем игрока А будет максимальное из чисел  В интересах игрока В - выбрать стратегию с минимальным показателем неэффективности. Наименьшее из чисел обозначим  Критерий выбора эффективной стратегии для игрока В называется минимаксным принципом, а выигрыш  называется минимаксом или верхней ценой игры. Стратегия  называется минимаксной стратегией игрока В. нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:  Пример сама 3 Свойство равнозначности седловых точек. Свойство взаимозаменяемости седловых точек. Свойство равнозначности седловых точек матрицы игры Седловые точки обладают важными свойствами. Одно из них – свойство равнозначности. Теорема «свойство равнозначности седловых точек». Если  и , k1, k2€  –седловые точки, то  Док-во: Т.к  -седловая точка, то при  имеем  т.к.  ,получим  Из неравенств выше, следует неравенство  (1)Применив аналогичные рассуждения сначала к седловой точке  , а затем к седловой точке , получаем неравенство  (2), неравенства (1) и (2) доказывают равенство Свойство взаимозаменяемости седловых точек матрицы игры. Теорема «св-во взаимозаменяемсотиседловых точек» Если  и  ,  - седловые точки, то и  и  - также седловые точкиДок-во. т.к.  и - седловые точки, то по теореме о равнозначности седловых точек справедливо равенство  из которого получим (1)с другой стороны по опр. показателя эффективности и показ. неэфф-ти имеем (2):  Из равенства (1) и неравенства(2) следует,что  ,а это означает, что - седловая точкаЗамечание. Теорема сформулирована для случая, когда взаимозаменяются вторые индексы седловых точек и , что приводит к седловым точкам  .Если у седловых точек и взаимозаменить первые индексы ,то это приведет к той же паре седловых точек  Если первые индексы седловых точек  и равны: , то взаимозаменяемость вторых индексов не приводит к новым седловым точкам.То же относится к седловым точкам с равными вторыми индексами при взаимозаменяемости первых. |