Документ Microsoft Word (2). 1 Координаты векторов

• Название: 1 Координаты векторов
• Дата: 14.04.2022
• Размер: 71.99 Kb.
• Имя файла: Документ Microsoft Word (2).docx
• Тип: Документы; #474620

Даны координаты пирамиды: A₁(7,7,3), A₂(6,5,8), A₃(3,5,8), A₄(8,4,1)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;
Например, для вектора A₁A₂
X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁
X = 6-7; Y = 5-7; Z = 8-3
A₁A₂(-1;-2;5)
A₁A₃(-4;-2;5)
A₁A₄(1;-3;-2)
A₂A₃(-3;0;0)
A₂A₄(2;-1;-7)
A₃A₄(5;-1;-7)
2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:







4) Площадь грани.
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани A₁A₂A₃
Найдем угол между ребрами A₁A₂(-1;-2;5) и A₁A₃(-4;-2;5):


Площадь грани A₁A₂A₃

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i j k -1 -2 5 -4 -2 5

=

=i((-2)·5-(-2)·5) - j((-1)·5-(-4)·5) + k((-1)·(-2)-(-4)·(-2)) = - 15j - 6k

5) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3

-1 -2 5 -4 -2 5 1 -3 -2

где определитель матрицы равен:
∆ = (-1)*((-2)*(-2)-(-3)*5)-(-4)*((-2)*(-2)-(-3)*5)+1*((-2)*5-(-2)*5) = 57
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Параметрическое уравнение прямой:
x=x₀+lt
y=y₀+mt
z=z₀+nt
Уравнение прямой A₁A₂(-1,-2,5)

Параметрическое уравнение прямой:
x=7-t
y=7-2t
z=3+5t
8) Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

x-7 y-7 z-3 -1 -2 5 -4 -2 5

= 0

(x-7)((-2)·5-(-2)·5) - (y-7)((-1)·5-(-4)·5) + (z-3)((-1)·(-2)-(-4)·(-2)) = - 15y - 6z + 123 = 0


Упростим выражение: - 5y - 2z + 41 = 0