Задачи к экзамена по теории вероятностей. Задачи по терверу. 1. непосредственное вычисление вероятностей
 Скачать 212.06 Kb.
|
|
ЗАДАЧИ 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб. 2. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными. 3. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины. 4. В урне 12 шаров 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар 5. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0.95 для первого сигнализатора и 0.9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. 2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, а для второго – 0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в цель попадет хотя бы один стрелок. 3. Устройство состоит из трех изделий, работающих независимо. Вероятности безотказной работы первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0.6; 0.7; 0.8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать все три элемента. 4. Вероятность того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Найти вероятность того, что деталь содержится не более чем в трех ящиках. 5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса. 6. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0.3; 0.4; 0.6; 0.7. 3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 1. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету. 2. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит цель при стрельбе из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.7. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу выбранной винтовки. 3. В урне содержится 10 шаров, из них 8 белых. Из урны наудачу извлекли один шара затем второй. Найти вероятность того, что второй шар белый. 4. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны один шар переложили во вторую. Найти вероятность извлечения из второй урны белого шара. 5. Впервой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй 3 белых и 7 черных. Из второй урны переложили в первую один шар. Какова после этого вероятность достать белый шар из второй урны 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ 1. В пирамида 10 винтовок, из которых 4 с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него 2. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0.55, а ко второму – 0.45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0.9, а вторым – 0.98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. 5. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ 1. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз. 2. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех разв четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А водном испытании равна 0.4. 3. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. 4. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет 50 мальчиков. 5. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0.8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 разине более 90 раз. 6. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0.8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз. 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения Х 1 2 3 4 Р 0.2 0.3 0.4 0.1 Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения Х 2 4 5 6 Р 0.3 0.1 0.2 0.4 Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Найти коэффициенты асимметрии и эксцесса. 3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значениях с вероятностью р х с вероятностью р их с вероятностью р. Найти хи р, зная, что М(Х)=8. 7. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента водном опыте равна 0.1. Составить закон распределения числа отказавших элементов водном опыте. 2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появления герба при четырех бросках монеты. 3. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 4 бракованные книги. 4. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее двух изделий. 8. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1. Случайная величина Х задана функцией распределения 4 1 , 4 2 1 5 0 , 2 0 ) ( x при x при x x при x F Найти: а) вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение от 1 доб) плотность распределения f(x); в) математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Построить графики функции и плотности распределения. 2. Случайная величина Х задана плотностью распределениях в интервале (0,1); вне этого интервале f(x)=0. Построить график плотности распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение величины Х. 3. Дана функция 2 0 , 2 1 ) 2 ( , 1 0 , 0 0 ) ( 2 2 x при x при x a x при ax x при x f При каком значении a функция ) (x f является плотностью распределения случайной величины X ? Построить ее график. Найти моду, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса. 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что ошибка округления будет меньше 0.04. 2. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2,8). Построить график плотности распределения. 3. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (10,12). 4. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со среднеквадратическим отклонением мм, найти, сколько будет годных шариков среди ста изготовленных. 5. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x)=3e -3x при х при х f(x)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1/3,2/3). 6. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения F(x)=1-e -0.6x при х при х F(x)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (2,5). 10. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 1. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления менее чем на 0,1. 2. В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули (с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, что число m извлеченных при этом белых шаров удовлетворяет двойному неравенству 120 80 m 3. Пусть в результате 100 независимых опытов найдены значения случайной величины X : 100 2 1 , , , x x x . Пусть математическое ожидание 10 ) ( X M и дисперсия Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины 100 100 1 i i x и математическим ожиданием будет меньше 2. |