Вариант 13
В урне один белый и пять черных шаров. Два игрока по очереди вынимают из урны шар и возвращают его обратно, после чего шары в урне перемешиваются. Выигрывает тот, кто первый извлекает белый шар. Какова вероятность того, что выиграет игрок, начинающий игру?
Решение
Вероятность появления белого шара равна
![](9037_html_6cb19a0f.gif)
Вероятность появления черного шара равна
![](9037_html_m17807d28.gif)
Для первого игрока возможны следующие исходы
Вынут белый шар ![](9037_html_2ccb5daf.gif)
Первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул белый шар
![](9037_html_m7cd4ff45.gif)
Первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул белый шар
![](9037_html_m1e63d31d.gif) Искомая вероятность
![](9037_html_m3eef3718.gif)
Ответ: Р(А)=0,363
По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинации 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,7 и 0,3. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов (1 и 0) уменьшается до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На входе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110. Определить, какая команда была передана?
Решение Пусть А - событие, состоящее в приеме комбинации 10110. К этому событию ведут две гипотезы: Н1 - была передана комбинация 11111; Н2 - была передана комбинация 00000. По условию ; . Условная вероятность приема кодовой комбинации 10110 вместо 11111 равна
; условная вероятность приема 10110 вместо 00000 равна .
По формуле гипотез находим
![](9037_html_20c09887.gif)
![](9037_html_61f75452.gif)
На основании сравнения найденных условных вероятностей заключаем, что при появлении на выходе комбинации 10110 с вероятностью 0,78 была передана команда 11111.
На окружность радиуса R брошено две точки. Считая, что длина хорды – случайная величина с равномерным распределением, найти плотность распределения вероятностей дуги между брошенными точками.
Решение
![](9037_html_30b17347.gif)
![](9037_html_16db1e81.gif)
![](9037_html_m4aa47bf6.gif)
Каждая повторная передача сигнала по каналу связи увеличивает вероятность искажения сигнала на 0,1%. При передаче первого сигнала эта вероятность равна 0,05. Передано 100 сигналов. Найти границы, в которых с вероятность 0,9 заключено число переданных без искажения сигналов.
Решение
Вероятность того, что будет искажен -й сигнал
,
где .
Вероятность искажения последнего сигнала
,
Поскольку вероятности отличаются незначительно, будем приближенно считать случайную величину - количество исказившихся сигналов – распределенной по биномиальному закону. Так как з=0,001 , а значение достаточно велико, можно считать случайную величину распределенной нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением :
,
,
,
,
.
Таким образом, количество искаженных сигналов из числа всех переданных с доверительной вероятностью лежит в интервале
,
,
.
Число сигналов, переданных без искажений, будет, таким образом, заключено в интервале .
.
Случайная величина ( ) распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и ковариационной матрицей
Найти
Решение
P{ > 0}
Рассмотрим ; ![](9037_html_66ff3f3e.gif)
![](9037_html_m74f74655.gif)
![](9037_html_m75bb09ea.gif)
![](9037_html_m21b20028.gif)
![](9037_html_ma22a932.gif)
P{ > 0} =![](9037_html_2259c1f9.gif)
Для заданной выборки:
постройте: а) статистический ряд; б)интервальный статистический ряд, предварительно определив число интервалов;
найдите значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии
постройте гистограмму
на основе анализа результатов наблюдений выдвинете гипотезу о виде закона распределения генеральной совокупности
1,8
| 1,4
| 1,12
| 2,3
| 2,7
| 3,3
| 1,3
| 1,13
| 1,7
| 1,4
| 1,25
| 1,9
| 1,64
| 1,47
| 1,65
| 1,5
| 1,85
| 1,68
| 1,51
| 1,48
| 1,95
| 0,8
| 2,8
| 2,4
| 2,95
| 2,5
| 2,3
| 2,9
| 1,84
| 2,2
| 1,68
| 2,5
| 2,52
| 1,29
| 3,3
| 1,85
| 2,1
| 3,6
| 2,4
| 2,55
| 1,5
| 1,29
| 1,85
| 1,58
| 1,31
| 1,69
| 1,28
| 1,9
| 1,87
| 1,7
| 1,49
| 2,1
| 1,9
| 1,49
| 1,8
| 2,45
| 2,3
| 3,0
| 3,1
| 3,1
| 1,6
| 1,88
| 2,2
| 1,63
| 0,8
| 1,63
| 1,45
| 1,29
| 1,47
| 2,55
| 1,49
| 2,4
| 2,55
| 1,26
| 0,8
| 1,25
| 2,1
| 0,7
| 2
| 1,85
| 0,9
| 1,9
| 2,1
| 2,55
| 2,55
| 2,4
| 0,6
| 2,1
| 0,4
| 2,5
| 1,5
| 1,69
| 2,7
| 1,48
| 1,5
| 1,69
| 1,46
| 1,48
| 1,52
| 1,3
|
Решение
а) статистический ряд
0,4
| 0,6
| 0,7
| 0,8
| 0,9
| 1,12
| 1,13
| 1,25
| 1,26
| 1,28
| 1,29
| 1,3
| 1,31
| 1,4
| 1,45
| 1,46
| 1,47
| 1,48
| 1,49
| 1,5
| 1
| 1
| 1
| 3
| 1
| 1
| 1
| 2
| 1
| 1
| 3
| 2
| 1
| 2
| 1
| 1
| 2
| 3
| 3
| 4
|
1,51
| 1,52
| 1,58
| 1,6
| 1,63
| 1,64
| 1,65
| 1,68
| 1,69
| 1,7
| 1,8
| 1,84
| 1,85
| 1,87
| 1,88
| 1,9
| 1,95
| 2
| 2,1
| 2,2
| 1
| 1
| 1
| 1
| 2
| 1
| 1
| 2
| 3
| 2
| 2
| 1
| 4
| 1
| 1
| 4
| 1
| 1
| 5
| 2
|
2,3
| 2,4
| 2,45
| 2,5
| 2,52
| 2,55
| 2,7
| 2,8
| 2,9
| 2,95
| 3
| 3,1
| 3,3
| 3,6
| 3
| 4
| 1
| 3
| 1
| 5
| 2
| 1
| 1
| 1
| 1
| 2
| 2
| 1
|
интервальный статистический ряд - 9 интервалов
[0;0,4)
| [0,4;0,8)
| [0,8;1,2)
| [1,2;1,6)
| [1,6;2,0)
| [2,0;2,4)
| [2,4;2,8)
| [2,8;3,2)
| [3,2;3,6]
| 1
| 2
| 6
| 29
| 26
| 11
| 16
| 6
| 3
|
![](9037_html_46130d8c.gif)
![](9037_html_519881e5.gif)
Гистограмма
Полигон
Нельзя однозначно сказать о законе распределения, но можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении совокупности.
Для исследования стабильности температуры в термостате, в который помещается кварцевый генератор с интервалом в 15 часов проведены две серии замеров температуры t0C
серия
| Замер
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 1-я
| 17,85
| 17,98
| 18,01
| 18,2
| 17,9
| 18,0
| 2-я
| 18,01
| 17,98
| 18,05
| 17,9
| 18,0
| -
| Проверить гипотезу о неизменности температуры в термостате, если точность измерения температуры характеризуется средним квадратичным отклонением , случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения, а уровень значимости ![](9037_html_m2ab42c31.gif) Решение Определим среднее значение и дисперсию для каждой серии испытаний
![](9037_html_m178e35d9.gif)
![](9037_html_m2f39d985.gif)
![](9037_html_274f2bab.gif)
![](9037_html_m52cd342b.gif) Проверим гипотезу (о равенстве дисперсий) при альтернативной гипотезе .
![](9037_html_35eabb49.gif)
распределение Фишера со степенями свободы и .
По таблице квантилей распределения Фишера находим .
![](9037_html_m7f48b8fc.gif)
![](9037_html_m687da758.gif)
Гипотезу отвергаем , т.к.
Известно, что измерительный прибор не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки каждого измерения подчиняются одному и тому же нормальному закону распределения. Сколько надо провести измерений для определения оценки измерений величины, чтобы с доверительной вероятностью 0,7 абсолютное значение ошибки в определении этой величины было не более 20%?
Решение Результаты каждого измерения – независимые нормально распределенные случайные величины. Пусть математическое ожидание каждой из них равно , а среднее квадратическое отклонение . Тогда среднее арифметическое этих величин – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Вероятность того, что она отклонится от своего математического ожидания не более, чем на ![](9037_html_5937ceea.gif)
.
Предполагая, что (в противном случае погрешности будут сопоставимы с результатами измерений), получим:
,
,
,
,
.
Таким образом, достаточно трех измерений, чтобы с доверительной вероятностью 0,7 абсолютное значение ошибки в определении величины не превышало 20%.
Т.о, ![](9037_html_m64cc349.gif) |