1. Общее представление об экономикоматематическом моделировании Определение экономикоматематической модели
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
1. Общее представление об экономико-математическом моделировании 1.1. Определение экономико-математической модели Математические модели экономических задач – это совокупность средств: уравнений, комплексов математических зависимостей, знаковые логические выражения, отображающие выделенные для изучения характеристики объекта, реальные взаимосвязи и зависимости экономических показателей. Математические модели экономических процессов и явлений более кратко называют экономико-математическими моделями. Определение, данное академиком В.С. Немчиновым: «Экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме». 1.2. Классификация экономико-математических моделей Существуют различные классификации экономико-математических моделей. Это объясняется тем, что в основу классификации кладутся различные типологические признаки. По функциональному признаку экономико-математические модели подразделены на модели планирования, модели бухгалтерского учета, модели статистики, модели экономического анализа, модели регулирования и управления, модели информационных процессов и др. По признаку размерности экономико-математические модели можно подразделить на макромодели, локальные модели и микромодели. Макроэкономические модели разрабатываются для изучения народного хозяйства в целом на базе укрупненных экономических показателей. К локальным моделям относятся модели, с помощью которых анализируются различные аспекты в развитии отрасли народного хозяйства. Микромодели разрабатываются для анализа деятельности отдельно взятых субъектов хозяйствования: промышленных, торговых, сельскохозяйственных предприятий, финансовых организаций и т.п. По используемому математическому аппарату модели могут подразделяться на модели линейного программирования, модели выпуклого программирования, модели динамического программирования, игровые модели, модели массового обслуживания и др. Модели могут быть детерминированными и стохастическими. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных данных. Стохастические модели описывают случайные процессы, в которых результат всегда остается неопределенным. Для оценки параметров в стохастических моделях используются вероятностные характеристики. Классификация экономико-математических моделей может строится и на базе других признаков. 1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования Под экономико-математическим моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Основные этапы экономико-математического моделирования:
Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки решений, принятых на предшествующих этапах, или невозможность практической реализации этих решений. Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации. Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком высоки. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменять их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации. 2. Основы финансовой арифметики 2.1. Простой процент Простой процент Сумму денег, положенную в банк под процент, будем называть первоначальным капиталом. Простой процент вычисляется исключительно по первоначальному капиталу. Простой процент определяется как произведение капитала, процентной ставки и времени:  , (1)где P – первоначальный капитал, j – номинальная годовая процентная ставка, t – срок депозита (в годах), I – простой процент (в денежном выражении). Пример 1. Годовая банковская процентная ставка равна 12 %, первоначальный капитал – 1000 денежных единиц (д.е.), срок депозита – 3 месяца. Требуется определить процент. Решение. Выразим срок депозита в годах. t = 3 месяца = 3/12 года =  года. Итак, t = года, P = 1000 д.е., j = 12 % = 0,12. Следовательно,  Наращенная сумма при простом процентеСумма первоначального капитала и наросшего процента называется наращенной суммой. Мы будем обозначать наращенную сумму буквой S. Итак,  . (2)Для рассмотренного нами примера 1  Наращенную сумму называют также будущей стоимостью первоначального капитала и часто обозначают FV (от первых букв английского термина futurevalue). Заметим, что  . (3)Коэффициент  , стоящий в правой части соотношения (3), показывает наращенную сумму в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала, и называется коэффициентом наращения. Мы его будем обозначать буквой . Итак, в случае простого процента, коэффициент наращения находится по следующей формуле . (4)Для данных из примера 1  , т.е. при годовой процентной ставке 12 % за три месяца наращенная сумма в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала составит 1,03 д.е. Учитывая, что , формулу (3) можно записать в следующем виде: . (5)Для данных из примера (3)  Текущая стоимость при простом процентеДля нахождения первоначального капитала P, обеспечивающего наращенную сумму S через время t при годовой процентной ставке j воспользуемся формулами (3) и (5). В результате получим:  . (6)Первоначальный капитал, обеспечивающий наращенную сумму S, называют приведенной (текущей) стоимостью суммы S и часто обозначают PV (от первых букв английского термина presentvalue). Пример 2. Годовая процентная ставка равна 15 %. Требуется определить текущую стоимость суммы, равной 800 д.е., при сроке депозита, равном 7 месяцам. Решение. Итак, S = 800, j= 15 % = 0,15,  . Следовательно,  Таким образом, чтобы получить 800 д.е. через семь месяцев, в настоящий момент нужно положить на счет 735,63 д.е.Из формулы (6) следует, что коэффициент  показывает текущую стоимость одной денежной единицы наращенной суммы, т.е. то количество денег, которое нужно положить на счет в настоящий момент времени для того, чтобы обеспечить одну денежную единицу наращенной суммы. Этот коэффициент называют коэффициентом дисконтирования. В дальнейшем будем обозначать коэффициент дисконтирования буквой . Итак,  . (7)Для данных из примера 2  , т.е. в расчете на одну денежную единицу наращенной суммы нужно положить на счет в настоящий момент времени 0,91954 д.е.Из формул (6) и (7) следует, что  . (8)В условиях примера 2  (что соответствует полученному ранее результату).Нахождение текущей стоимости суммы, выплачиваемой в будущем, называется дисконтированием.
Понятие сложного процента В случае, когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова кладется на счет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Такой процент называется сложным. Пример 3. Пусть, как и в примере 1, годовая банковская процентная ставка равна 12 %, и первоначальный капитал составляет 1000 денежных единиц. Однако, срок депозита равен 2 годам. Требуется определить процент, наросший к концу второго года, считая, что процент капитализируется (т.е. прибавляется к начальному капиталу) один раз в год. Решение. Итак, j = 12 % = 0,12, P = 1000 д.е., t = 2 года. Найдем вначале процент  , нарастающий к концу первого года.  Следовательно, наращенная сумма  в конце первого года составит:  . Процент  , нарастающий за второй год, будет начисляться с суммы  , т.е.  Причем,  , где 120 д.е. – это процент, нарастающий с первоначального капитала P = 1000 д.е., а 14,4 д.е. – процент, нарастающий с процента  , наросшего за первый год. Сумма  , нарастающая к концу второго года, равна  Таким образом, процент нарастающий за два года, равен  д.е.Несложно заметить, что   . (9)Следовательно, в условиях примера 3 сумма , нарастающая к концу второго года, может быть также найдена по формуле (9):  Номинальная годовая процентная ставкаОтметим, что в примере 3 процент прибавлялся к капиталу (т.е. капитализировался) в конце каждого года. Однако процент может капитализироваться чаще: раз в пол года, раз в квартал, раз в месяц, ежедневно и т.д. Время между двумя последовательными капитализациями (начислениями) процента называется периодом капитализации процента. (В примере 3 период капитализации равен одному году.) Важную роль играет эффективная процентная ставка  для периода капитализации. Обычно известна номинальная годовая процентная ставка и частота капитализации. Мы будем обозначать число капитализаций процента в течение года символом m. Эффективная процентная ставка для периода капитализации определяется с помощью номинальной ставки по формуле:  . (10)Эффективная процентная ставка для периода капитализации показывает процент, нарастающий в течение одного периода капитализации. Пример 4. Пусть, как и в примере 3, первоначальный капитал составляет 1000 денежных единиц, срок депозита равен 2 годам, и номинальная годовая процентная ставка равна 12%. Однако, в отличие от условий примера 3, период капитализации процента равен полугодию (а не одному году, как в примере 3). Требуется определить процент, наросший к концу второго года. Решение. Итак, , P = 1000 д.е., t = 2 года, j= 12 % = 0,12. Поскольку период капитализации – полугодие, то процент капитализируется два раза в год, т.е. m = 2. Найдем эффективную процентную ставку для полугодия (периода капитализации):  . Процент , нарастающий к концу первого полугодия, равен  . В конце первого полугодия (т.е. первого периода капитализации) процент прибавляется к начальному капиталу P, и, таким образом, в конце первого полугодия капитал составит  Процент за второе полугодие начисляется с капитала  д.е., и равен  д.е. Капитал в конце первого года (т.е. второго периода капитализации) равен  д.е. (Отметим, что в условиях данного примера капитал за первый год увеличивается на  , т.е. на большее количество процентов, чем номинальная годовая процентная ставка  ). Процент  , нарастающий за третье полугодие, равен  д.е. Капитал  в конце третьего полугодия составит  д.е. Процент  , нарастающий за четвёртое полугодие, равен  д.е. Капитал  в конце четвёртого полугодия составит д.е. Таким образом, процент, нарастающий за два года, равен  д.е. Заметим, что процент, нарастающий за два года оказался большим в условиях примера 4, чем в условиях примера 3. Это объясняется тем, что (при прочих равных условиях) процент в примере 4 капитализируется чаще, чем в примере 3. Таким же самым образом, как в условиях примера 3 была получена формула (9), в условиях примера 4 несложно получить следующую формулу для суммы , нарастающей к концу второго года: . (11)Подставив данные из примера 4 в формулу (11), получим  д.е., что соответствует результату, полученному ранее.Наращенная сумма при сложном проценте В общем случае, когда срок депозита t состоит из n периодов капитализации, несложно показать, что наращенная сумма  находится по формуле: . (12)(Формула (12) выводится так же само как и формула (9).) Напомним, что наращенную сумму называют также будущей стоимостью начального капитала (и обозначают FV). Из формулы (12) следует, что в случае сложного коэффициент наращения (показывающий наращенную сумму в расчёте на одну денежную единицу первоначального капитала), находится по формуле:  . (13)В условиях примера 4  . (С точностью до пяти знаков после запятой.)Текущая стоимость при сложном проценте. Напомним, что текущая стоимость – это первоначальный капитал, обеспечивающий заданную наращенную сумму. Из формулы (12) следует, что при сложном проценте текущая стоимость находится следующим образом:  . (14)Пример 5. Годовая номинальная процентная ставка равна 16%, период капитализации процента – квартал, срок депозита – один год и три месяца. Найти текущую стоимость наращенной суммы, равной 600 д.е. Решение. Итак  ,  (процент капитализируется 4 раза в год),  года,  д.е. Вначале найдем эффективную процентную ставку для периода капитализации по формуле (10):  . Затем найдем количество периодов капитализации процента:  . Теперь мы можем найти текущую стоимость суммы д.е. по формуле (14):  д.е.Из формулы (14) следует, что в случае сложного процента коэффициент дисконтирования (показывающий текущую стоимость в расчете на одну денежную единицу наращенной суммы), находится следующим образом:  . (15)Найдем коэффициент дисконтирования в условиях примера 5:  . С помощью найденного коэффициента дисконтирования также можно найти текущую стоимость суммы д.е.:  д.е.
В случае, когда срок депозита состоит из нецелого числа периодов капитализаций процента используются два метода начисления процента: смешанный (комбинированный) и общий. В соответствии со смешанным методом, вначале нужно найти наращенную сумму для целого числа периодов капитализации  в сроке депозита. (Здесь через  обозначен срок депозита, выраженный в периодах капитализации. Заметим, что  .) Эта сумма находится по формуле для сложного процента:  . Затем, для оставшейся дробной части срока депозита  начисляется простой процент с капитала  (наросшего за целое число периодов капитализации  ). Заметим, что периода капитализации – это  года. Следовательно, к концу срока депозита наращенная сумма составит: . (16)Учитывая, что  , формулу (16) можно также записать в виде: . (17)Пример 6. Номинальная годовая процентная ставка равна 12%. Период капитализации процента – полугодие. Начальный капитал – 500 д.е. Срок депозита –1 год и 2 месяцz. Требуется найти наращенную сумму смешанным методом. Решение. Итак, ,  ,  д.е.,  года. Вначале найдем эффективную процентную ставку для периода капитализации:  . Затем выразим срок депозита в периодах капитализации:  полугодий. Найдем сумму, нарастающую за целое число периодов капитализации  по формуле в случае сложного процента:  д.е. Затем, для оставшейся дробной части срока депозита  начисляется простой процент с капитала  д.е. Поскольку полугодия – это  года (т.е. 2 месяца), к концу срока депозита наращенная сумма составит: д.е.В соответствии с общим методом, наращенная сумма ищется по формуле:  . (18)В условиях примера 6, если воспользоваться общим методом, наращенная сумма в конце срока (т.е. через 1 год и 2 месяца) составит  д.е.
Из формулы (18) вытекает, что сумма, накапливающаяся на счете за время t (измеряемое в годах), равна:  . (19)Пример 7. Пусть первоначальный капитал равен 100 д.е., годовая номинальная процентная ставка – 12%, срок депозита – 1 год. Найти наращенную сумму при периоде капитализации процента равном: 1) одному году; 2) полугодию; 3) кварталу; 4) месяцу; 5) одному дню. Решение. Итак,  , ,  .1)  :  ;2) :  3)  :  4)  :  5)  :  Заметим, что при увеличении числа капитализаций m в году сумма S растет. Однако этот рост имеет предел:  . (20)Итак, при стремлении к бесконечности числа m капитализаций процента в году сумма, накапливающаяся на счете за время t, стремится к  . Когда наращенную сумму S вычисляют по формуле: , (21)говорят, что процент капитализируется непрерывно. Найдем наращенную сумму в условиях примера 7 при непрерывной капитализации процента:  Заметим, что найденная наращенная сумма при непрерывной капитализации процента очень «близка» к наращенной сумме в случае ежедневной капитализации процента. (Поэтому, на практике при ежедневной капитализации процента говорят, что процент капитализируется непрерывно.) Из формулы (21) следует, что текущая стоимость будущего платежа при непрерывной капитализации процента равна:  . (22)Пример 8. Пусть номинальная годовая процентная ставка равна 16%. Требуется найти текущую стоимость платежа, равного 600 д.е., выплачиваемого через 5 месяцев, при непрерывной капитализации процента. Решение. Итак, ,  ,  года,  . 
Эффективная процентная ставка показывает реальное процентное увеличение первоначального капитала за заданный промежуток времени. Следовательно, она находится по формуле:  , (23)где  – коэффициент наращения для заданного промежутка времени.Пример 9. Пусть номинальная годовая процентная ставка равна 12% с периодом капитализации – полугодие. Требуется найти эффективную процентную ставку для промежутка времени, равного: 1) одному году; 2) полугодию; 3) кварталу. Решение. Итак, , .1)  :  ,  .2)  :  ,  . (Отметим, что для периода капитализации процента эффективная процентная ставка может быть найдена также по формуле (10):  .)3)  :  ,  .Отметим, что для нахождения наращенной суммы и текущей стоимости достаточно знать эффективную процентную ставку для некоторого периода времени. Пусть  – эффективная процентная ставка для промежутка времени  . Тогда  , и следовательно,  . Подставив правую часть этого соотношения в формулы  и  , получим и (24) . (25)Заметим, что из формулы (24) непосредственно вытекает, что эффективная процентная ставка  для срока t может быть найдена с помощью эффективной процентной ставки  (для срока ) по формуле: . (26)Пример 10. Известно, что эффективная процентная ставка для одного квартала равна 4%. Для промежутка времени, равного одному месяцу, требуется найти: 1) наращенную сумму при начальном капитале, равном 150 д.е.; 2) текущую стоимость платежа, равного 200 д.е.; 3) эффективную процентную ставку. Решение. Итак,  ,  ,  ,  .1)   2)   3)  .
Две номинальные годовые процентные ставки  и  (с числом капитализаций процента в году  и  , соответственно) называются эквивалентными, если при одном и том же начальном капитале они обеспечивают одинаковый процент за равные промежутки времени. Очевидно, что при конечных и условие эквивалентности номинальных годовых процентных ставок и запишется следующим образом: , (27)а в случае, если  ,  условие эквивалентности имеет вид:  . (28)Пример 11. Пусть номинальная годовая процентная ставка равна 12% с периодом капитализации процента в году – квартал. Найти эквивалентную ей номинальную годовую процентную ставку с периодом капитализации процента, равным: 1) полугодию; 2) месяцу; 3) с непрерывной капитализацией процента.Решение. Итак,  ,  .1)  . Определим из уравнения (27):  .2)  .  .3) . Определим из уравнения (28):  .
Пусть срок выплаты платёжа S равен t периодам времени, а r – эффективная процентная ставка для одного периода. Тогда текущая стоимость платежа S находится по формуле  . (29)Несложно заметить, что при увеличении процентной ставки текущая стоимость уменьшается. Для того, чтобы оценить это уменьшение, воспользуемся следующим результатом из высшей математики. Пусть  – дифференцируемая функция аргумента x. Тогда  . Поскольку текущую стоимость платежа можно рассматривать как функцию от процентной ставки, т.е.  , то  , (30)где  – это производная от PV по r. Найдем :  . Подставив правую часть последнего равенства в (30), получим:  . Разделив это соотношение на PV, получим: . (31)Пример 12. Пусть годовая эффективная процентная ставка равна 12%. Требуется оценить относительное изменение текущей стоимости платежа, выплачиваемого через 4 месяца, при увеличении процентной ставки на 1%. Решение. Итак,  ,  года,  . Для оценки относительного изменения текущей стоимости платежа воспользуемся формулой (31): .Таким образом, при увеличении годовой эффективной процентной ставки на 1% текущая стоимость платежа уменьшится приблизительно на 0,2976%. Из формулы (31) несложно заметить, что при увеличении срока платежа чувствительность текущей стоимости к изменению процентной ставки увеличивается. |