МОР. Задачи_1_3. 1. Оптимальный план производства
 Скачать 378.61 Kb.
|
1. Оптимальный план производстваФирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует двухстадийной сборки. Время, необходимое для сборки на каждой стадии, приведено в таблице.
Оборудование на каждой стадии работает 7,5 ч в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Модель А дает прибыль 82,5 руб. за шт.; модель В - 70,0 руб. за шт.; модель С - 78,0 руб. за шт. Фирма может продавать все, что она произведет, и, кроме того, имеет на следующую неделю оплаченный заказ на 60 шт., по 20 шт. устройств каждого типа. a) Каков должен быть оптимальный производственный план? b) Все ли типы моделей выгодно производить? c) Если имеется убыточная модель, то что нужно изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Попробуйте изменить что-нибудь в ценовой политике или увеличить время работы оборудования (за счет сверхурочных) так, чтобы все модели стали выгодными. Опишите результаты ваших попыток. d) Допустим, вы можете установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль? Обозначим х1 – план выпуска модели А х2 – план выпуска модели В х3 – план выпуска модели С Тогда ЦФ запишется в виде 82,5х1+70х2+78х3 → max Система ограничений запишется в виде: 2,5х1+1,8х2+2,0х3 ≤ 37,5*60 2,0х1+1,6х2+2,2х3 ≤ 37,5*60 х1 ≥ 20 х2 ≥ 20 х3 ≥ 20 х1,х2,х3 ≥ 0 Решение  Поскольку фирма производит электронные реле – то задача безусловно целочисленная, можно попробовать нецелочисленное решение  В целом решения близки  Каков должен быть оптимальный производственный план? Для целочисленной задачи оптимальный план: план выпуска модели А = 20 единиц план выпуска модели В = 560 единиц план выпуска модели С = 596 единиц Прибыль составит = 87338 руб. Все ли типы моделей выгодно производить? Теневая цена модели А = -14,6 – ее производство, при заданных условиях невыгодно. Если имеется убыточная модель, то что нужно изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Попробуйте изменить что-нибудь в ценовой политике или увеличить время работы оборудования (за счет сверхурочных) так, чтобы все модели стали выгодными. Опишите результаты ваших попыток. Увеличим стоимость модели А на 15 единиц. Решение целочисленное.  Теперь выгодно производить практически только модель А (модель С – только 2 штуки). Допустимое увеличение для Стадии 1 = 276,75 для Стадии 2 = 202,4, т.е. увеличение на меньшую величину не изменит план. Увеличим время Стадии 1 на 277 ед.  Увеличивается выпуск Модели А, на единицу вырос выпуск модели С. Увеличивать время Стадии 2 не имеет смысла – оно в избытке. Полагаю, что добиться одновременной выгодности выпуска всех моделей без пересмотра затрат времени на операции невозможно. Допустим, вы можете установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль? Для стадии 1 – увеличение на 2 часа даст прирост прибыли = 2*38,42. (Для целочисленного решения прирост составит 78 ед.) Для стадии 2 – только 2*0,526 (Для целочисленного решения прирост составит 2 ед.). 2. Оптимизация инвестиционного портфеляЧастный инвестор предполагает вложить 500 тыс. руб. в различные ценные бумаги. После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций, 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк.
Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг: - все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы; - по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в любимом банке; - по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском; - в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции; - не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее чем 10%. Решение  Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода? Нужно инвестировать: в Акции А – 150000 руб. доход 22500 руб. в Акции С – 50000 руб. доход 4500 руб. в долгосрочные облигации – 200000 руб. доход 22000 руб. Обязательное в срочный вклад 100000 руб. доход 6000 руб. Суммарный доход = 55000 руб.  Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли изменение ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инвестированных средств? Почему? При существующих ограничениях, доход от вложения в ценные бумаги составляет 0,1225 (12,25%). Эта величина сохранится и при наращивании инвестиций до 1 100 000 руб. Это связано с тем, что средняя доходность ценных бумаг, участвующих в оптимальном портфеле составляет 11,67%, но за счет ограничений она сдвигается несколько вверх. Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) - это не более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оценкам? Какая именно бумага портфеля наиболее сильно влияет на оценку суммарного ожидаемого дохода? наиболее выгодно инвестировать в соответствии с ограничениями Акции А Акции С Облигации долгосрочные Наиболее чувствительны облигации долгосрочные – увеличение оценки более, чем на 0,025 или уменьшение более, чем на 0,03 приведет к изменению оптимального плана. Например, увеличение дохода долгосрочным облигациям до 13,6% приведет к следующему плану:  Дайте интерпретацию значений теневых цен для правых частей каждого из ограничений.  Чувствительность (теневые цены) показывает, насколько сильно влияет то или иное ограничение. Отчет показывает, что наиболее существенным ограничением является ограничение на вклад (-0,0625). Если уменьшить вклад на единицу, прибыль вырастет на 0,0625. Если увеличить на 1 ограничение на низкодоходные акции, доход снизится на 0,06. 3. Управленческая наука - фермеру: оптимизация использования земельФермер имеет 150 га земель в одной из южных областей и в предстоящем сезоне собирается выращивать пшеницу, кукурузу, овес и сою. В таблице представлены данные о величине ожидаемого урожая, финансовых и трудовых затратах, расходе минеральных удобрений и предполагаемых ценах на выращенное зерно. Основываясь на анализе прошлогоднего рынка зерновых, фермер хочет произвести не менее 150т пшеницы и не менее 150т кукурузы, но не более 125т овса. Он располагает 250 тыс. руб. для покрытия издержек, связанных с обработкой и уходом за полями, и планирует работать по 12 ч в день в течение 150-дневного сезона. Он также не хочет перерасходовать имеющийся у него с прошлого года запас минеральных удобрений в 120т. Какое количество гектаров земли фермер должен отвести под каждую зерновую культуру, чтобы максимизировать прибыль от предполагаемого урожая?
a) Какое количество гектаров земли фермер должен отвести под каждую зерновую культуру, чтобы максимизировать прибыль от предполагаемого урожая? b) Все ли культуры стоит выращивать? Если есть культура, которая исключена из оптимального плана, насколько нужно увеличить цену за центнер (при условии, что ожидаемая урожайность та же), чтобы ее выгодно стало выращивать? На сколько больше должна быть ожидаемая урожайность этой культуры (при условии постоянства цены), чтобы ее стало выгодно выращивать? c) Если снять ограничение на производство кукурузы, войдет ли она в оптимальный план? Как изменится прибыль, если кукурузу не выращивать? d) Близлежащий колхоз предлагает фермеру арендовать прилегающий к его полям участок 20 га за 50 тыс. руб. за сезон. Стоит ли фермеру принять это предложение? Математическая модель задачи Целевая функция F=160*21x1+128*30x2+73*18x3+155*24x4 – (1000x1+500x2+600x3+1200x4) → max Система ограничений х1+x2+x3+x4=150 8x1+10x2+6x3+20x4 ≤ 1800 1000x1+500x2+600x3+1200x4 ≤ 250000 4x1+12x2+2x3+8x4 ≤ 1200 x1*21 ≥ 1500 x2*30 ≥ 1500 x3*18 ≤ 1250 х1,х2,х3 ≥ 0 Решение (файл Задача3.xlsx)  a) Какое количество гектаров земли фермер должен отвести под каждую зерновую культуру, чтобы максимизировать прибыль от предполагаемого урожая? 71,43 га под пшеницу 71,43 га под кукурузу 7,14 га под сою Прибыль составит 353714,29 руб. b) Все ли культуры стоит выращивать? Если есть культура, которая исключена из оптимального плана, насколько нужно увеличить цену за центнер (при условии, что ожидаемая урожайность та же), чтобы ее выгодно стало выращивать? На сколько больше должна быть ожидаемая урожайность этой культуры (при условии постоянства цены), чтобы ее стало выгодно выращивать? Пшеница, кукуруза и соя включены в оптимальный план – их стоит выращивать. Овес не включен в оптимальный план – его не стоит выращивать.  Приведенная стоимость овса = -2226. Т.е. можно увеличить стоимость овса на 2226/18 = 123,67 руб. или повысить урожайность на 2226/73 = 30,49 ц/га – тогда овес войдет в оптимальный план Пусть цена овса будет = 73+124 = 197 руб.  Пусть урожайность будет = 18+30,5 = 48,5 ц/га  c) Если снять ограничение на производство кукурузы, войдет ли она в оптимальный план? Как изменится прибыль, если кукурузу не выращивать? Если снять ограничение на производство кукурузы, она все равно войдет в оптимальный план, т.к. ее предлагается производить в больших, чем ограничение, количествах. Это ограничение при таких параметрах задачи излишне. Если кукурузу не выращивать, прибыль снизится до 362000.0000.  Для получения этого результата удалим ограничение на производство и добавим последнее ограничение – площади под кукурузу = 0. d) Близлежащий колхоз предлагает фермеру арендовать прилегающий к его полям участок 20 га за 50 тыс. руб. за сезон. Стоит ли фермеру принять это предложение? Т.к. теневая стоимость земли = 3480, то арендовать дополнительную землю по цене ниже, чем 3480 за га - выгодно, но неизвестно в каких размерах. Добавим 20 га в ресурс земли. Добавим 50000 руб. в издержки  Решим модель. Прибыль возросла до 354200, арендованная земля использована полностью. Фермеру стоит принять предложение (в рамках постановки этой задачи). Но, можно заметить, что прибыль возросла на 485,71 руб., при этом ресурс по издержкам израсходован полностью (ранее в избытке было 90000 руб.), ресурс труд израсходован практически полностью, осталось 40 часов, ранее было 371,43 часов в запасе. Сомнительная операция. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||