1-37 теория. 1. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства
![]()
|
1. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства. Функция F(x) называется первообразной f(x) если ![]() Cвойства Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Свойства неопределенного интеграла ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Интегрирование простейших дробей ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3. Свойства определенного интеграла. Доказать теорему о сохранении определенным интегралом знака подынтегральной функции. Свойства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 1) f(x) интегрируема на [a,b]; 2) ![]() ![]() Доказательство: Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Переходя к переделу при d(T)->0 ![]() ![]() 4. Свойства определенного интеграла. Доказать теорему о оценке определенного интеграла знака подынтегральной функции. Свойства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема Если f(x) интегрируема на на ![]() Док левого неравнества. Правое доказывается аналогично ![]() 5. Доказать теорему об оценке модуля определенного интеграла. Свойства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Т Пусть f(x) интегрируема на [a,b] тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6. Доказать теорему о среднем для определенного интеграла. Свойства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Т. ![]() ![]() Док-во ![]() ||т. Вейерштрасса Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть ![]() ![]() — точные верхняя и нижняя границы множества значений функции f соответственно. Тогда эти значения конечны ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() //т. Больцано-Коши. Пусть дана непрерывная функция на отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7. Сформулировать определение интеграла с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной от интеграла по его верхнему пределу. ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть f(x) интегрируема на [a,b] и нерперывна в некоторой точке x этого отрезка тогда функция ![]() Док.во ![]() ![]() ![]() Т.к f непрерывна в точке ![]() ![]() ![]() 8. Вывести формулу Ньютона-Лейбница Свойства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ф ![]() ![]() ![]() 9. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании подстановкой для неопределенного инетграла. ![]() ![]() ![]() ![]() 10. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании по частям для определенного инетграла. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 11. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. 1) Функция периодическая с периодом T ![]() 2) Функция четная или нечетная ![]() ![]() 12. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-ого рода. Сформулировать и доказать признак сходимости по неравнеству для неопределенного интеграла 1-ого рода. Опр. f(x) непрерывна на ![]() ![]() Теорема ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 13. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать и доказать предельный признак сравнения для несобственных интегралов 1-го рода Пусть ![]() ![]() Неопределенным интегралом первого рода называется: ![]() Предельный признак сравнения: Пусть ![]() ![]() ![]() Доказательство: ![]() Значит: ![]() ![]() 14. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать и доказать признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода: Пусть ![]() ![]() Неопределенным интегралом первого рода называется: ![]() Признак абсолютной сходимости: Пусть ![]() ![]() ![]() Доказательство: ![]() ![]() Значит: ![]() ![]() Значит: ![]() 15. Сформулировать определение несобственного интеграла 2-го рода и признаки сходимости таких интегралов: Пусть ![]() ![]() ![]() Пусть f не является ограниченной в окрестности ![]() ![]() Тогда несобственным интегралом 2-го рода называется: ![]() 1.Признак сравнения по неравенству: Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.Предельный признак сравнения: Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3.Признак абсолютной сходимости: Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() 16. Фигура ограничена кривой y = f(x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b). Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры: ![]() ![]() ![]() Из необходимого и достаточного условия: ![]() ![]() Если f(x) < 0 : ![]() ![]() 17. Фигура ограничена лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой r = f(ϕ). Здесь r и ϕ — полярные координаты точки, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры 18. Тело образовано вращением вокруг оси ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 19. Кривая задана в декартовых координатах уравнением y = f(x), где x и y — декартовые координаты точки, ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство: ![]() ![]() Если интеграл существует 20. Кривая задана в полярных координатах уравнением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 21. ЛДУ 1-го порядка. Интегрирование ЛДУ 1-го порядка методом Бернулли (“u*v”) и методом Лагранжа (вариация произвольной постоянной) ЛДУ 1-го порядка это уравнение линейное относительно неизвестной функции и её производной и имеет вид: ![]() ![]() ![]() ![]() Методы решения НЛДУ 1-го порядка:
Метод Лагранжа: рассмотрим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Метод Бернулли: пусть ![]() тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 22) Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка. Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающих понижение порядка. Т. Коши: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интегрирование: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 23. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения ЛДУ n-го порядка. Доказать св-ва частных решений ЛОДУ n-го порядка. Теорема: пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Св-ва: 1: пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 24) Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Сформулировать и доказать теорему о вронксиане линейно зависимых функций. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( ![]() ![]() 25. Определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифф уравнения n-го порядка. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вронксианом системы n-1 раз дифф функций ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 26) Сформулировать и доказать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. ![]() ![]() ![]() Д. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 27. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифф уравнения n-го порядка Теорема: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 28) Вывести формулу Остроградского-Лиувилля для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 29. Формула для общего решения линейного однородного дифф уравнения 2-го порядка при одном известном частном решении. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 30. Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. T. ![]() ![]() ![]() ![]() Док-во: ![]() ![]() 31. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 32. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 33. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (являющейся квазимногочленом). Сформулировать и доказать теорему о наложении частных решений. Определение: Квазимногочленом называется сумма нескольких слагаемых вида ![]() где ![]() Частное решение уравнения ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Т. ![]() ![]() ![]() Док-во: ![]() 34. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка и вывод системы соотношений для варьируемых переменных. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим в уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 35. Сформулировать определение дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, и сформулировать задачу Коши для такого уравнения. Описать метод сведения этого уравнения к нормальной системе дифференциальных уравнений. ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, уравнение вида ![]() Задача Коши ![]() ![]() Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе ![]() Замена переменных ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 36. Сформулировать задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений и теорему Коши о существовании и единственности решения этой задачи. Описать метод сведения нормальной системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка. Определение: Нормальной системой называется система вида: ![]() Задача Коши: ![]() Теорема Коши: ![]() ![]() ![]() ![]() Сведение системы к ДУ ![]() Берем любое уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() Из 1-го уравнения находим ![]() ![]() ![]() 37. Сформировать определение первого интеграла нормальной системы дифференциальных уравнений. Описать методы нахождения первых интегралов и их применение для решения системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему ![]() Функция ![]() ![]() ![]() ![]() Нахождение 1х интегралов Рассмотрим систему ![]() Для нахлждения 1х интегралов обычно используют метод выделения интегрируемых комбинаций с помощью арифметических операций. С помощью арифметических операций уравнение системы приводят к виду ![]() Функция ![]() ![]() Это симметрическая форма записи нормальной системы. Чтобы найти интегрируемую комбинацию нужно выделить пару отношений, допускающую разделение переменных либо воспользоваться свойством равных дробей. Свойства равных дробей. Если ![]() Для его доказательства достаточно заметить что ![]() Коэфициенты ![]() ![]() Получение решния нормальной системы при помощи 1-х интегралов. Матрицей Якоби системы функций ![]() ![]() ![]() ![]() Определитель матрицы Якоби называется Якобианом. Рассмотрим нормальную систему n-ого порядка ![]() Пусть известны n 1-х интегралов этой системы: ![]() ![]() Опр. Первые интегралы ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда можем показать, что в этом случае система соотношений ![]() Где ![]() |