1 Понятие матрицы. 1 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Матрицей

• Название: 1 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Матрицей
• Дата: 02.06.2022
• Размер: 130.57 Kb.
• Имя файла: 1 Понятие матрицы.docx
• Тип: Документы; #566372

1 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Виды матриц:

1) Матрица-строка: ;

2) Матрица-столбец: ; 3) Нулевая матрица: ;

4) Квадратная матрица – если (например n = 2): ;

5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где любые числа ): ;

6) Единичная матрица (например, 3-го порядка) 

Матрица A=(aij)m×n равна матрице B=(bij)k×l при условии, если у них одинаковые размерности и соответствующие элементы равны между собой.

2 Линейные операции над матрицами и их свойства.


3 Произведение матриц и его свойства.

Умножение матриц.

Bи

Умножение матрицы   на матрицу   определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц   называется матрица   , каждый элемент которой   равен сумме произведений элементов   -ой строки матрицы   на соответствующие элементы   -го столбца матрицы   :



Свойства произведения матриц:

1. 
   Ассоциативность (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
   
2. 
   Ассоциативность по умножению (μ⋅A)⋅B=μ⋅(A⋅B)(μ⋅A)⋅B=μ⋅(A⋅B)
   
3. 
   Дистрибутивность A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C, (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C,
   
4. 
   Умножение на единичную матрицу Em⋅Am×n=Am×n⋅En=Am×nEm⋅Am×n=Am×n⋅En=Am×n
   
5. 
   В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. AB≠BAAB≠BA
   
6. 
   EA=A
   

4. Понятие определителей 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

 

 .

 

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а₁₁, а₂₂ составляют главную диагональ, а элементы а₂₁, а₁₂ – побочную диагональ.

 

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

 

 .

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:



Свойство 1.Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.

 

Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).

 

Свойство 4.Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.

Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.

 

Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:

5 Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие определителя п-го порядка.

Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора

Алгебраическим дополнениемлюбого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения А_ij.

Теорема (теорема аннулирования).

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам любой другой строки (столбца) равна нулю.

Определитель порядка   равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения.

Определитель n-го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом

и определяется как число

6. Понятие обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы, формула нахождения обратной матрицы.
Обратной матрицей, к квадратной матрице А называется такая матрица А

в степени -1  для которой справедливо равенство А * А -1 = А -1 * А= Е

Для существования обратной матрицы   необходимо и достаточно, чтобы матрица   была невырожденной, то есть, чтобы определитель не равен 0

ПРАВИЛО 1) Сначала находим определитель матрицы.

2) Находим матрицу миноров  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений  .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

7. Системы линейных уравнений. Основные определения: решение системы, совместность, несовместность, определенность, неопределенность. Равносильные системы. Однородные и неоднородные системы. Матрица системы линейных уравнений, расширенная матрица системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных;

- вектором-столбцом неизвестных,

- вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов.

Расширенной матрицей системы A˜=(A∣B)A=(A∣B) называется матрица, полученная из матрицы системы AA , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов.

8. Теорема Крамера .

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

xi=ΔiΔ

где Δ - определитель матрицы системы, Δi - определитель матрицы системы, где вместо i -го столбца стоит столбец правых частей.

9. Матричный метод решения системы линейных уравнений (теорема о матричном методе с доказательством).

Если матрица

AA

невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу

XX

. Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу A−1A−1 слева:

A−1AX=A−1B⇒EX=A−1B⇒A−1AX=A−1B⇒EX=A−1B⇒

X=A−1BX=A−1B

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу

XX

надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

10. Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений общего вида. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Понятие системы линейных уравнений, приведенной к единичному базису, алгоритм метода Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение системы, базисные и свободные неизвестные.

Если говорить коротко, то суть данного метода состоит в последовательном переборе столбцов матрицы системы, в каждом из которых выбирается некий ненулевой элемент, именуемый разрешающим элементом. Пусть в текущем столбце в качестве разрешающего элемента выбран aij. Если aij≠1, то домножая строку ri на 1aij, добиваемся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1.

 Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число  ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

 .

Элементарными преобразованиями строк называют:

• 
  перестановку местами любых двух строк матрицы;
  
• 
  умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
  
• 
  прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.
  

Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.

Если коэффициенты при r переменных совместной СЛАУ образуют базисный минор матрицы системы A, то эти r переменных называют базисными или основными. Остальные n−r переменных именуют свободными или неосновными.

11. Модифицированные жордановы исключения, применение их к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений. Правила МЖИ.

 

Данный метод аналогичен методу обыкновенных жордановых исключений. Только независимые переменные записывают в верхнюю заглавную строку жордановой таблицы с противоположным знаком. При этом несколько изменяется алгоритм пересчета коэффициентов системы.