Системы. 1Системы числения. 1 Представление числовой информации 5 Системы счисления Система счисления
 Скачать 70.5 Kb.
|
1.5. Представление числовой информации 1.5.1. Системы счисления Система счисления — это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами. В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы: 1 V Х L С D М 1 5 10 50 100 500 1000 Пример 1. Число ССХХХП складывается из двух сотен, % - трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум. В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются. Пример 2 VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 — 1 = 4. Пример 3 MCMXCVIII = 1000 + ( — 100 + 1000) + ( — 10 + 100) + + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998. В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многознач- ного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья - три единицы. Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из п цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: 1011012, 36718 ЗВ8F16 . В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единица- ми разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q-1. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10. Развернутой формой записи числа называется запись в виде Aq. = ±(an-1 qn-1 + a n-2 qn-2 + … + a0 q0 + а-1q -1 + a -2q-2 +... + а-m q-m Здесь Аq — само число, q — основание системы счисления, аi. — цифры данной системы счисления, n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа. Пример 4. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387. 3247810 = 3 х 10000 + 2 х 1000 + 4 х 100 + 7 х 10 + 8 = 3 х 104 + 2 х 103+ 4 х 102+ + 7 х 101 + 8 х 100. 26,38710 = 2 х 101 + 6 х 100 + 3 х 10-1 + 8 х 10-2 + 7 х 10-3 Пример 5. Получить развернутую форму чисел 1123, 1011012, 15FС16, 101,112 1123 = 1х102 + 1х101+ 2х100. 1011012 = 1 х 10101 + 0 х 10100+ 1 х 1011 + 1 х 1010 + 0х101+ 1х100. 15РС16 = 1х103+ 5х102+ Рх101 + С. 101,11 = 1 х 1010 + 0 х 101 + 1 х 100 + 1 х 10-1 + 1 х 10-2. Обратите внимание, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10. Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную. Пример 6. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему. 112з = 1 х З2 + 1 х 31 + 2 х З0 = 9 + 3 + 2 = 1410 101101з = 1 х 25 + 0 х 24 + 1 х 23+ 1 х 22 + 0 х 21 + 1 х 20 = 32 + 8 + 4 + 1 = 4510 15FС16 = 1х163 + 5х162 + 15х161 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810 101,11 = 1х22 + 0х 21+ 1х 20 + 1х 2-1 + 1x2-2 == 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,7510 Задачи № 1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: MMMD, IV, XIX, MCMXCIVII? № 2. Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр. № 3. В старину на Руси широко применялась система счисления, отдаленно напоминающая римскую. С ее помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате податей. Для записи чисел употреблялись следующие знаки: звезда — тысяча рублей, колесо — сто рублей, квадрат — десять рублей, Х — один рубль, I I I I I I I I I I — десять копеек, I — копееку. Запишите с помощью старинной русской системы счисления сумму 3452 рубля 43 копейки. № 4. Какая сумма записана с помощью старинной русской системы счисления ٱٱٱٱٱ Х ХХ I I I I I I I I I I I I I? № 5. Придумайте свою непозиционную систему счисления и запишите в ней числа 45, 769, 1001. № 6. В некоторой системе счисления цифры имеют форму различных геометри- ческих фигур. На рисунке 1.8 приведены некоторые числа, записанные в этой системе счисления:   № 7. Выполните действия и запишите результат римскими цифрами: XXII — V; CV — LII; IC + XIX; MCM + VIII; ХХ: V; Х х IV; LXVI: XI; XXIV x VII. № 8. Какое количество обозначает цифра 8 в десятичных числах 6538, 8356, 87 и 831? № 9. Что вы можете сказать о числах 111 и I I I? № 10. Выпишите алфавиты в 5-ричной, 7-ричной, 12-ричной системах счисления. № 11. Запишите первые 20 чисел натурального числового ряда в двоичной, 5-ричной, 8-ричной, 16-ричной системах счисления. № 12. Запишите в развернутом виде числа: 1) А10 = 25341; А8 = 25341; 2) А6 = 25341; А10 = 25341. № 13. Запишите в развернутом виде числа: 1) А10= 125,34; А8 = 125,34; 2) А6= 125,34; А16 = 125,34. № 14. Запишите в развернутой форме числа: 1) А10, = 5341; А8 = 25,341; 2) А6 = 0,25341; А16 = 341,54. № 15. Запишите в десятичной системе счисления числа: 1) А9 = 341; А8 = 341; 2) А6 = 341; А16 = 341. № 16. Запишите в десятичной системе счисления числа: 1) А5 = 34,1; А3 = 221; 2) А7 = 120; А16= Е41А,12. № 17. Запишите десятичный эквивалент числа 10101, если считать его написан ным во всех системах счисления — от двоичной до девятеричной включительно? № 18. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 10, 21, 201, 1201? № 19. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 403, 561, 666, 125? № 20. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 22, 984, 1010, А219? № 21. В каких системах счисления 10 — число нечетное? № 22. В каких системах счисления справедливы равенства: 2 х 2=10, 2 х 3=11, З х 3=13? 1.5.2. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления Перевод целых чисел. 1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления; 2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя; 3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 4) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного. Пример 1. Перевести число 3710 в двоичную систему. Для обозначения цифр в записи числа используем символику : а5а4а3 а2 а1 а0  Пример 2. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатерич ную системы: 315 I 8 315 I 16 24 39 1 8 16 19 I 16 75 32 4 155 16 1 72 7 144 3 3 11 Отсюда следует: 31510 = 4738 = 13В16 Напомним, что 1110 = В16 Перевод дробных чисел. 1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления; 2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления; 3) полученные целые части произведений, являющиеся циф- рами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения. йМ Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоич- % == ную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы. У лм съпс A I 4 оюс о 31 она |