шпаргалка. геометрия 7 класс. 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Аксиома. Основное свойство прямой
![]()
|
☑ 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Аксиома. Основное свойство прямой: Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Определение. Пересекающиеся прямые: Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися. ТЕОРЕМА. О двух пересекающихся прямых: Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением. Аксиома. Основное свойство длины отрезка: Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и т. е. АВ = АС + СВ. Расстоянием между точками называют длину отрезка АВ. Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называют дополнительными. ☑ 2. Углы Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОБ — стороны угла. Обозначение: ∠AOB или ∠ab. Угол в 90° называется прямым (рис. 2). Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3). Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым (рис. 4). ![]() Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (рис. 5). ∠AOC и ∠DOB; ∠BOC и ∠AOD — вертикальные. Вертикальные углы равны: ∠AOC = ∠DOB и ∠BOC = ∠AOD. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию (рис. 6), ∠AOC и ∠BOC — смежные. ![]() Сумма смежных углов равна 180°. Биссектрисой угла называется луч, проходящий между сторонами угла и делящий его пополам (рис. 7). Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг друга (рис. 8). Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (рис. 9). ![]() При пересечении двух прямых a и b третьей с (секущей) образуется 8 углов (рис. 10): соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8, ∠3 и ∠7; внутренние накрест лежащие: ∠4 и ∠6, ∠3 и ∠5; внешние накрест лежащие: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8; внутренние односторонние: ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6; внешние односторонние: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7. ☑ 3. Параллельные прямые Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Аксиома параллельности прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Признаки параллельности двух прямых: • Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. • Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. • Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны. • Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. Свойства параллельных прямых: • Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны. • Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны. • Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой. ☑ 4. Треугольник Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки. Точки А, В, С — вершины треугольника АВС. Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, ∠A, ∠B и ∠C — углы. ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Стороны треугольника часто обозначают малыми буквами (рис. 13): АВ = с, ВС = а, АС = b. Р = а + b + с — периметр треугольника. ![]() Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (см. рис. 13). Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным (рис. 14). Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а и b), а сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенузой (с). Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис. 15). ![]() Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным (рис. 16). Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 17). Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. Свойства равнобедренного треугольника: 1. Углы при основании равны. 2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой. 3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой. 4. Медиана, проведенная к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. ![]() Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника (рис. 18). ∠CBD — внешний угол треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (см. рис. 18): ∠CBD = ∠A + ∠C. Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией треугольника (рис. 19). ☑ 5. Признаки равенства треугольников I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 20). АВ = А1В1, АС = А1С1, ∠A = ∠A1 II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 21). АВ = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 III признак (признак равенства по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 22). АВ = А1В1, ВС = B1C1, АС =А1С1. ![]() ☑ 6. Соотношения между сторонами и углами треугольника ТЕОРЕМА о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°. ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Следствие 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника). ТЕОРЕМА о неравенстве треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: а < b + с, b < а + с, с < а + b. ☑ 7. Определение вида треугольника по его сторонам Пусть с — наибольшая сторона, тогда: а) если с2 < а2 + b2, то треугольник остроугольный; б) если с2 > а2 + b2, то треугольник тупоугольный; в) если с2 = а2 + b2, то треугольник прямоугольный. ☑ 8. Прямоугольные треугольники (некоторые свойства) 1. Сумма острых углов равна 90° (рис. 23). ∠A + ∠B = 90°. 2. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (рис. 24). a = c/2 3. Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° (рис. 24). ![]() ☑ 9. Признаки равенства прямоугольных треугольников 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис. 25). АС = А1С1, ВС = В1С1. 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны (рис. 26). АС = А1С1, ∠A = ∠A1. ![]() 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 27). АВ = А1В1, ∠A = ∠A1. 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны (рис. 28). АВ = А1В1, АС = А1С1 ![]() ☑ 10. Четыре замечательные точки треугольника С каждым треугольником связаны 4 точки: 1) точка пересечения медиан; 2) точка пересечения биссектрис; 3) точка пересечения высот (или их продолжений); 4) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника. Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущенного из любой его вершины на противолежащую сторону или ее продолжение. ![]() В тупоугольном треугольнике (рис. 29) две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника, а третья внутри. В остроугольном треугольнике (рис. 30) все три высоты лежат внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и высотами (рис. 31). Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. В прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. ![]() Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника (рис. 32). Эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1 (считая от соответствующей вершины). Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла от вершины до пересечения с противолежащей стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанного круга (рис. 33). Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины (рис. 34, 35, 36), пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. ![]() В тупоугольном треугольнике (рис. 34) эта точка лежит вне треугольника, в остроугольном (рис. 35) — внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы (рис. 36). Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают друг с другом только в равностороннем треугольнике. ☑ 11. Окружность ![]() Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R. На рисунке ОС = ОЕ = OD = R. Часть окружности (например, CmD) называется дугой. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром. АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности. СЕ — наибольшая из хорд — диаметр. Обозначение: d или D. D = 2R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом. Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис. 37). Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC). ☑ 12. Свойства касательных к окружности Угол, образованный двумя касательными (СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (∠ACB на рис. 38). 1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними. ![]() ☑ 13. Окружность и треугольник 1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 39). 2. Во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности является точка пересечен |