Зачет. 1. Равные по условию и накрест лежащие при пересечении двух прямых секущей

• Название: 1. Равные по условию и накрест лежащие при пересечении двух прямых секущей
• Дата: 16.12.2022
• Размер: 109.49 Kb.
• Имя файла: Зачет.docx
• Тип: Документы; #848383

∠

∆

⇒

Зачет №2.
1. Равные по условию и – накрест лежащие при пересечении двух прямых секущей .

Углы при равны как вертикальные. 

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

и подобны по первому признаку подобия треугольников. 

Из подобия следует отношение:





Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон. 



Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:



2. Сумма углов треугольника .

В

Найдем отношение длин сторон данных треугольников.







Стороны данных треугольников пропорциональны.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В подобных треугольниках против сходственных сторон лежат равные углы.

лежит против , сходственной .

лежит против , сходственной ,



3. Так как прямая, пересекающая , проходит параллельно одной из сторон данной фигуры, то и подобны.

Из условия задачи видно, что сторона равняется 1 части, а сторона — 4 частям. Соответственно, сторона равна 5 частям. Таким образом мы выясняем, что стороны , а значит , где Р - периметр.

Далее вычисляем периметр : принимаем периметр за .

,

,



.

Периметр см.

Зачет №3.
1. Средние линии треугольника находятся в том же отношении, что и стороны треугольника.

Обозначим стороны треугольника буквами а, в и с.

Тогда , т.е. , ,

По условию, периметр см, т.е.







(см)

(см)

(см)

(см)

Ответ:10 см, 15 см, 20 см.

2. Медианы точкой пересечения делятся по длине в соотношении 2:1 считая от вершины.

Рассмотрим и они подобны так как общий, и равны как углы при параллельных прямых.

Медиана делит сторону треугольника на две равные части значит .

Составим уравнение







Аналогично для и



см



3. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:



см

см







(см)- гипотенуза прямоугольного треугольника

найдём через



Отсюда

Ответ: см; .

4. Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Из нее следует, что:

, то есть 





Теперь рассмотрим . По условию задачи - высота, значит он является прямоугольным.

.

Тогда .

Для него будет верно соотношение: 



Из таблицы значений тригонометрических функций учтем что , тогда  

Из формул приведения тригонометрических функций учтем что , тогда

Подставим значение







Из тех же тригонометрических тождеств выясним, что , тогда

Ответ: 7sin β ctgα

Зачет №4.
1. По свойству касательных, проведенных из одной точки:






И по т. Пифагора:









2. Окружность составляет .

.

Пусть - коэффициент пропорциональности, тогда

, .







, а как вписанный, опирающийся на дугу .

, а как вписанный, опирающийся на дугу .

3. Даны две пересекающиеся хорды. Длины отрезков хорды равны 12 и 3. Пусть длины каждого из отрезков второй хорды будут а, т.к. они по условию равны.

Углы с вершинами и вписанные и опираются на одну и ту же дугу. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. .

Соединим отрезками точки и и точки и .

В и углы при равны как вертикальные, . ⇒ по первому признаку подобия треугольников.

Из подобия следует отношение сходственных сторон:

⇒





 

см



Зачет №5.
1. Рассмотрим равнобедренный . Проведем высоту . Она является медианой. Следовательно .

Рассмотрим прямоугольный . По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АВ²=АО²+ВО²;

ВО²=АВ²-АО²;

ВО²=100-36;

ВО²=64;

ВО=8.

S_АВС=1/2*ВО*АС;

S_АВС=1/2*8*12;

S_АВС=4*12;

S_АВС=48.

Ответ: 48.

2. , так как – биссектриса.

, так как – параллелограмм.

, – секущая, – накрест лежащие углы.

Тогда , следовательно – равнобедренный (углы при основании равны).

Получается, что



см

Ответ: см.


3


3. Проведем высоту трапеции . А биссектриса прямого угла, значит и . 

По Пифагору . . .  

В прямоугольном : , значит . Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. 

Тогда по Пифагору: или или .

Тогда . Основание трапеции .

Итак, , , .

Площадь трапеции или

.

Ответ: .



4. см, см. см.

По свойству пересекающихся хорд:

.

. 

.

  ⇒ см.

см.

Ответ: см, см.



5. Радиус вписанной окружности в квадрат .

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника .

Значит гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет против угла в 30° равен половине гипотенузы

Другой катет ,

Площадь треугольника