Справочник по теории(геометрия). Форм теорем7-8 кл. Формулировки теорем геометр. Понятий 78 классы. Биссектриса угла

• Название: Формулировки теорем геометр. Понятий 78 классы. Биссектриса угла
• Анкор: Справочник по теории(геометрия
• Дата: 13.05.2023
• Размер: 36.32 Kb.
• Имя файла: Форм теорем7-8 кл.docx
• Тип: Документы; #1127037

Формулировки теорем геометр. Понятий 7-8 классы.

1. 
   Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
   
2. 
   (Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
   
3. 
   (Т. о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
   
4. 
   Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
   
5. 
   Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
   
6. 
   Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
   
7. 
   (Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
   
8. 
   Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
   
9. 
   Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
   
10. 
    (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
    
11. 
    (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
    
12. 
    В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
    
13. 
    В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
    
14. 
    (Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    
15. 
    (Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    
16. 
    Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
    
17. 
    Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
    
18. 
    Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
    
19. 
    При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
    
20. 
    (Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
    
21. 
    (Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
    
22. 
    (Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
    
23. 
    (Т.Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
    
24. 
    (Т.Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
    
25. 
    (Т.Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
    
26. 
    (Т. о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°.
    
27. 
    Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
    
28. 
    Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
    
29. 
    (Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
    
30. 
    (Свойство прямоугольного треугольника) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
    
31. 
    (Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
    
32. 
    (Свойство прямоугольного треугольника) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
    

1. 
   Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
   
2. 
   Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n–2)·180°.
   

(Свойства параллелограмма) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

3. 
   (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   
4. 
   Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
   
5. 
   Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.
   
6. 
   (Особое свойство прямоугольника) Диагонали прямоугольника равны.
   
7. 
   (Признак прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
   
8. 
   Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
   
9. 
   (Особое свойство ромба) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
   

1. 
   Площадь квадрата равна квадрату его стороны ( S=a²).
   
2. 
   (Т.)Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (S=ab).
   
3. 
   (Т.)Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту (S=ah).
   
4. 
   Площадь ромба через диагонали (S = ½ d1* d2)
   
5. 
   Площадь ромба (S=  ah).
   
6. 
   Площадь ромба через стороны и угол между ними. S=a²⋅sin(α)
   
7. 
   (Т.)Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (S=   ah).
   
   
8. 
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (S=   ab).
   
9. 
   Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
   
10. 
    Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
    
11. 
    Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту ( S=   ·h ).
    
12. 
    (Теорема Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (с²=a²+b²)
    
13. 
    Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником.
    
14. 
    (Формула Герона) Площадь треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S= 
    

 , где p =   (a+b+c) - полупериметр треугольника.

15. 
    Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D_{1 ,} если АВ/А1В1 = СD/C1D1  .
    
16. 
    Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
    
17. 
    Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
    
18. 
    (Т.)Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
    
19. 
    (Т. Первый признак подобия треугольников) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
    
20. 
    (Т. Второй признак подобия треугольников) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
    
21. 
    (Т. Третий признак подобия треугольников) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
    
22. 
    Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
    
23. 
    (Т. о средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
    
24. 
    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
    
25. 
    Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
    
26. 
    Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY= 
    
27. 
    Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
    
28. 
    (Т. о средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
    
29. 
    Диагональ, проходящая, через среднюю линию трапеции, делит её на два отрезка. Меньший отрезок равен половине верхнего основания.
    
30. 
    Свойство диагоналей трапеции: каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.
    
31. 
    Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    
32. 
    Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    
33. 
    Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
    
34. 
    Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
    
35. 
    sin²A+cos²A=1 – основное тригонометрическое тождество.
    
36. 
    Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
    
37. 
    Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
    
38. 
    Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
    
39. 
    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
    
40. 
    (Т. о свойстве касательной к окружности) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
    
41. 
    (Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
    
42. 
    (Т. Признак касательной) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной
    
43. 
    Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
    
44. 
    Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
    
45. 
    Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
    
46. 
    Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
    
47. 
    Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
    
48. 
    (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
    
49. 
    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
    
50. 
    Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
    
51. 
    (Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
    
52. 
    Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
    
53. 
    Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
    
54. 
    Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
    
55. 
    (Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
    
56. 
    Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
    
57. 
    Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
    
58. 
    Четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот(или их продолжений) называются замечательными точками треугольника.
    
59. 
    Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
    
60. 
    (Теорема об окружности, вписанной в треугольник) В любой треугольник можно вписать окружность.
    
61. 
    В треугольник можно вписать только одну окружность.
    
62. 
    Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.
    
63. 
    В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
    
64. 
    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны то в него можно вписать окружность.
    
65. 
    Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
    
66. 
    (Теорема об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать окружность.
    
67. 
    Около треугольника можно описать только одну окружность.
    
68. 
    Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
    
69. 
    В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
    
70. 
    Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность
    
71. 
    Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.
    
72. 
    Радиус описанной окружности выражается через сторону квадрата и диагональ R= a\ корень кв из 2 = d\2 .
    
73. 
    Радиус, описанной около прямоугольного треугольника ,окружности равен половине гипотенузы.