охт. 1. Теория вероятностей
 Скачать 0.6 Mb.
|
1 2 1.Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями пони-маются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.Случайная измен. – способность некоторой величины принимать различные значения по воле случая, то есть под воздействием различных обстоятельств, которых нет возмож. ни предвидеть, ни изменить.Закономерности выполняются лишь при массовости случайных явлений. Причем индивидуальные особенности отдельных случаев как бы взаимно погашаются, а усредненный результат для массы случайных явлений оказывается уже не случайным, а вполне закономерным.Вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию m, к общему числу случаев n. Ст. велич.: абсолютные (показывают реальные размеры изучаемого явления); относительные (являются обобщ. показателями числовой меры соотношения составляющих абсолютных величин); средние (являются обобщ. Характеристиками количественных признаков совокупности, выраженым одним числом). 2. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина называется дискретной, если она принимает только определенные отделенные друг от друга значения, которые можно установить и перечислить. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения внутри определенного интервала, который иногда 19 имеет резко выраженные границы, а иногда – нет (бесконечность). Функцией распределения случайной величины (интегральной) называют функцию, определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем х. Интегральная функция обладает следующими свойствами: 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0; 1]. 2. Интегральная функция является неубывающей функцией. 3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, заключенные в интервале (a; b), равна приращению интегральной функции на этом интервале. 4. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значения, например х1, равна нулю. 5. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a; b), то: 6. Справедливы следующие предельные соотношения: Дифференциальной функцией распределения вероятностей (плотности вероятностей) называют первую производную от интегральной функции: Дифференциальная функция обладает следующими свойствами: 1. Дифференциальная функция неотрицательна. 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен единице: В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то: 4. Квантили - величины, разделяющие совокупность на определенной количество равных по численности элементов частей. Самый известный квантиль – медиана, делящая совокупность на две равные части. Кроме медианы часто используются квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили - на 100 частей. Мода - величина признака (варианта), которая встречается в ряду распределения с наибольшей частотой (весом). Медиана - величина признака у единицы, находящейся в середине ранжированного (упорядоченного) ряда. Если ряд распределения представлен конкретными значениями признака, то медиана (Me) находится как серединное значение признака.  Квартили - это значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше величины Q1, 25% единиц будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3, остальные 25% превосходят Q3. Квартили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы. Децилем называется структурная переменная, делящая распределение на 10 равных частей по числу единиц в совокупности. Децилей 9, а децильных групп 10. Децили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы и квартилей.3. Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х0 называется математическое ожидание М (Х – х0)k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются: Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины: Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются: Следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю: Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С, а отклонение от центра не меняется: Х – m = (Х – С) – (m – С). Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка: Центральный момент третьего порядка: служит для оценки асимметрии распределения. Если распределение симметрично относительно точки х = m, то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Центральный момент четвертого порядка: служит для оценки так называемого эксцесса, определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения , то в качестве эксцесса принимается величина: 5. Нормальный закон распределения характеризуется следующей формулой для плотности вероятности: где х – текущие значения случайной величины X; М(X) и – ее математическое ожидание и стандартное отклонение. График функции называется нормальной кривой распределения (кривой Гаусса). Он имеет симметричный вид относительно ординаты х = М(Х). Величина М(Х) называется также центром рассеяния. Среднеквадратичное отклонение характеризует ширину кривой распределения. При изменении значения М(Х) в (26) нормальная кривая не меняется по форме, но сдвигается вдоль оси абсцисс. С возрастанием максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая, становясь более пологой, растягивается вдоль оси абсцисс, при уменьшении кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Свойства нормально распределенной случайной величины x: 1.x (−∞;+∞);2.плотность вероятности ρ(x) является непрерывной функцией;3.центр распределения случайной величины одновременно является центром симметрии;4.малые отклонения встречаются чаще больших, другими словами, реализуются с большей вероятностью.    1 2 |