ЛЕКЦИЯ 2 . Случайные величины и их законы распределения 2.1. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения случайной величины. Числовые характеристики случайных величин. Случайной называют величину, которая в результате испытания имеет одно и только одно значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Дискретные случайные величины имеют счетные множества возможных значений. Число значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют законом распределения вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть задано в виде таблицы: X 1 2 x x … n x p 1 p p2 … pn где 1 1 pi n i . Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат 1 1 1 2 2 2 строят точки М (х , р ), М (х , р ), …, (х , р ) Мn n n . Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Закон распределения непрерывной случайной величины задается функцией плотности вероятности: f (x) 0 . f (x) – плотность распределения или дифференциальная функция распределения вероятностей. Для непрерывных величин вероятность того, что значение случайной величины принадлежит интервалу (а; b), определяется равенством b a P(a x b) f (x)dx Геометрически правая часть этого равенства выражает площадь заштрихованной криволинейной трапеции (рис. 10). Перечислим свойства плотности вероятности: 1) Для всех значений х имеем f(х) ≥ 0. 2) 1)( xf dx (2.1) 3) Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то x f(x) O а b Рис. 10 f (x)dx 1 b a (2.2) Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно пользоваться вероятностью события x X , где x – некоторая текущая переменная. Функция F(x), определенная равенством F(x) P(x X), (2.3) называется интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины X. Свойства функции распределения. 1. F(x) – неубывающая функция, т.е. при 1 2 x x F 1 2 (x ) F(x ). 2. F() 0. 3. F() 1. Интегральная функция дает общий способ задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Для дискретной случайной величины i\xix P i F(x) P(X x) (X x ). (2.4) Функция распределения для непрерывной случайной величины Х представляется в виде интеграла. x F(x) f (x)dx , (2.5) f(х) – плотность вероятности случайной величины X. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал a X b равна приращению функции распределения на этом участке. Для случайной величины Р(X = a) = 0, Р(X = b) = 0, поэтому все события: а < X < b, а ≤ X < b, а < X ≤ b, a ≤ X ≤ b – имеют одну и ту же вероятность, равную приращению интегральной функции на этом промежутке, т. е. Р(а < X < b) = F(b) – F(а). (2.6) Для непрерывной случайной величины b a xfbXaP dx aFbF )()()()( , (2.7) x ( xfxXPxXP dx xF )()()() . (2.8) Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения: X 1 3 5 8 p 0,4 0,3 0,1 0,2 Построить многоугольник распределения. Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения i х , а по оси ординат – соответствующие вероятности – pi . Построим точки (1;0,4), М1 (3;0,3) М2 , (5;0,1) М3 , (8;0,2) М4 . Соединив эти точки отрезками, получим искомый многоугольник распределения (рис. 11). M4 M2 M1 M3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x p Рис. 11 Пример 2. Решение. может принимать следующие значения: хххх 4321 3,2,1,0 . Испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли. По формуле mnmm n n qpCmXP )( , где т = 0, 1, 2, 3, находим: Р (X = 0) = 0,512, Р (X = 1) = 0,384, Р (X = 2) = 0,096, Р (X = 3) = 0,008. Таким образом, получаем следующую таблицу распределения вероятностей случайной величины X: X 0 1 2 3 p 0,512 0,384 0,096 0,008 Проверка: n i pi 1 = 0,512 + 0,384 + 0,096 + 0,008 = 1. Пример 3. Дискретная случайная величина X задана следующей таблицей распределения вероятностей: Х 1 2 3 4 5 Р 0,1 0,15 0,2 0,35 0,2 Найдем интегральную функцию распределения и построим ее график. Решение. Для дискретной случайной величины Составьте таблицу распределения вероятностей числа попаданий в мишень при трех независимых выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Случайная величина X есть число попаданий в мишень. Так как производятся три независимых выстрела, то случайная величина следовательно, если x 1 , то F(х) = 0; если x 21 , то F(х) = 0,1; если x 32 , то F(х) = 0,1 + 0,15 = 0,25; если x 43 , т F(х) = 0,1 + 0,15 + 0,2 = 0,45; если x 54 , то F(х) = 0,1 + 0,15 + 0,2 + 0,35 = 0,8; если х > 5, то F(х) = 0,1 + 0,15 + 0,2 + 0,35 + 0,2 = 1. Таким образом, 1 .5 ,548,0 ,4345,0 ,3225,0 ,211,0 0 ,1 )( при x при x при x при x при x при x xF График интегральной функции F(х) рассматриваемой случайной величины X дан на рисунке 12. Пример 4. Случайная величина X задана следующей интегральной функцией распределения вероятностей: 1 .2 ,20 8 1 0 ,0 )( 3 при x x при x при x xF Построим график интегральной функции и найдем вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение в интервале (0,5; 1,5). Решение. График интегральной функции F(х) дан на рисунке 13. Вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение в интервале (0,5; 1,5), т. е. P(0,5 < X < 1,5), можно вычислить по формуле (2.6), с учетом того, что интервал (0,5; 1,5) лежит внутри промежутка (0; 2), Итак, Р(0,5 < Х < 1,5) = F(1,5) – F(0,5) = 1/8((1,5)3 – (0,5)3 ) = 0,4063. Рис. 4 0 1 2 0 1 2 3 x F(x) Эту же задачу можно решить иначе. Так как f(х) = F′(х), то 0 .2 ,20 8 3 0 ,0 )( 2 при x x при x при x xf График этой функции изображен на рисунке 14. Для того чтобы найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0,5; 1,5), вычислим площадь криволинейной трапеции. По формуле (2.7) ,0 4063 88 3 )5,15,0( 5,1 5,0 5,1 3 5,0 2 x XP x dx . Пример 5. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X: 1 . sin ,0 0 ,0 )( при x xA при x при x xf Найдем интегральную функцию F(х), предварительно вычислив значение параметра А. Решение. Так как все значения случайной величины X принадлежат интервалу (0; π), то, используя (2.2), получим: 0 xdxA 1sin или 0 xdxA 1sin , т. е. 2A = 1. Откуда 2 1 A . Для нахождения интегральной функции воспользуемся формулой (2.5). При .00)(0 x xFx dx При cos1( ). 2 1 sin 2 1 0 0)( 0 0 xFx dx xdx x x При .10sin 2 1 0)( 0 0 x xFx dx xdx dx Таким образом, 3/2 f(x) О 2 х Рис. 14 1 . ,0)cos1( 2 1 0 ,0 )( при x x при x при x xF Числовые характеристики случайных величин Закон распределения является наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величиной. Однако наиболее существенные особенности закона распределения можно выразить при помощи его параметров или числовых характеристик. 1. Характеристики положения. Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности ii n i pxXM 1 )( . (2.9) Если случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то ii i pxXM 1 )( , причем ряд, стоящий в правой части этого равенства, предполагается абсолютно сходящимся. Для непрерывной случайной величины dxiii xfp )( , поэтому математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(х) называют определенный интеграл XM xf x dx )()( (2.10) При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится. В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу ,ba , то XM xf x dx b a )()( . (2.11) Модой М0(X) случайной величины X называют ее наиболее вероятное значение (для непрерывных случайных величин – то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.) В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным. Медианой Ме(X) случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством )( XMXPXMXP )( e e . (2.12) Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Если график функции плотности xf )( симметричен относительно прямой 0 xx (рис. 15), то 0 e )()( xXMXM . Отметим некоторые свойства математического ожидания: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: )( CCM . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M CMCX X)()( 3. Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий множителей: М (XY) = М (X) М (Y). 4. Математическое ожидание суммы несовместных случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: YMXMYXM )()()( . 2. Характеристики рассеяния. Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания 2 (()( XMXMXD )) . Дисперсию удобно вычислять по формуле: 2 2 (()()( XMXMXD )) . (2.13) Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам: i n i i pXMxXD 1 2 (()( )) , (2.14) n i ii XMpxXD 1 2 2 )( (( )) . (2.15) Дисперсия непрерывной случайной величины X вычисляется по формулам: x f(x) O x0 Рис. 15 xfXMxXD dx (()( )) )( 2 (2.16) 2 2 xfxXD dx (()()( XM )) , (2.17) где f(х) – плотность вероятности для X В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу ,ba , то 2 2 xfxXD dx (()()( XM )) b a . (2.18) Свойства дисперсии. 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: CD 0)( . 2. Дисперсия неотрицательна xD 0)( . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: )()( 2 D CX XDC . 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: YDXDYXD )()()( . Средним квадратическим отклонением случайной величины называют корень квадратный из дисперсии XDX )()( . (2.19) 3.Теоретические моменты. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины k Х : )( k k XM . (2.20) В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: )( 1 XM . Для дискретной случайной величины: i n i k ik px 1 . (2.21) Для непрерывной случайной величины: xfx dx k k )( . (2.22) Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины k Х XM )( : k k XMXM )( . (2.23) В частности, центральный момент первого порядка равен нулю: 0)( 1 XMXM ; центральный момент второго порядка равен дисперсии: )()( 2 2 XDXMXM . Для дискретной случайной величины: i n i k k i pXMx 1 )( . (2.24) Для непрерывной случайной величины: xfXMx dx k k )()( . (2.25) В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу ba ),( , то b a k k xfx )( dx , b a k k xfXMx )()( dx Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные: 2 122 ; 3 23 12133 ; 4 12 2 13144 364 . 2.2. Законы распределения дискретных случайных величин. Законы распределения непрерывных случайных величин. Некоторые законы распределения 1. Равномерное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей п значений, задается формулой n n xXP i 1 )( (2.26) где n ,...,xx1 – все возможные значения случайной величины. Говорят, что распределение вероятностей непрерывной случайной величины X равномерно на интервале ba ),( , если ее плотность вероятности постоянна на этом интервале и равна нулю вне его: ,0 . , , 1 ,0 , )( если bx если bxa ab если ax xf (2.27) В этом случае вероятность того, что значение величины принадлежит части dc ),( интервала ba ),( , равна отношению длин этих интервалов: ab cd dcxP ,(( )) . (2.28) 2. Биномиальное распределение вероятностей случайной величины X, значениями которой являются возможные значения числа т появления события А при проведении п повторных независимых испытаний, задается формулой mnmm n n qpCmXP )( , (2.29) где m ,2,1,0 ...,n. Если случайная величина X имеет биномиальное распределение вероятностей, то XM np XD )(,)( npq. (2.30) 3. Геометрическое распределение вероятностей случайной величины X, значениями которой являются возможные значения числа т проведенных испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли (причем опыт прекращается после первого же испытания, в котором рассматриваемое событие появилось), задается формулой 1 )( m n mXP pq , (2.31) где m 3,2,1 .... Если случайная величина X имеет геометрическое распределение вероятностей, то 2 )(, 1 )( p q XD p XM . (2.32) 4. Показательное (экспоненциальное) распределение Пуассона задается формулой ! )( m emXP m n , (2.33) где m ,2,1,0 .... Если случайная величина X имеет пуассоновское распределение вероятностей, то XDXM )(,)( . (2.34) Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью ,0 0 ,0 )( e при x при x xf x (2.35) где λ – постоянная положительная величина. Функция распределения показательного закона 1 ,0 0 ,0 )( e при x при x xF x (2.36) Вероятность попадания в интервал ba ),( непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, ba eebXaP )( . Найдем математическое ожидание показательного распределения 0()( ); )0(0)( xxfxexf x . Используем формулу XM xf x)()( dx . Учитывая, что xf 0)( при x 0 и x exf )( при x 0 , получим 0 XM )( xe dx x . Интегрируя по частям, положив xu dv e dx x , и выполнив необходимые выкладки, окончательно получим XM /1)( . Итак, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра λ. Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения. Учитывая, что xf 0)( при х < 0, XM /1)( , получим 2 0 2 )( /1 exXD dx x . Интегрируя дважды по частям, найдем 2 0 2 2 ex dx x . Следовательно, искомая дисперсия 222 XD /1/1/2)( . Т. е. дисперсия показательного распределения равна величине, обратной 2 . Найдем среднее квадратическое отклонение /1/1)()( 2 XDX . Т. е. среднее квадратическое отклонение показательного распределения равно величине, обратной λ. Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой. 5. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид )( / ( )2 22 2 1 )( ax exf . (2.37) где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение X. Заметим, что при a 1,0 нормальную кривую 2/ 2 2 1 )( x ex называют нормированной. Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), a a XP )( , (2.38) где x x ex dx 0 2/ 2 2 1 )( – функция Лапласа. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ, aXP /2 . (2.39) В частности, при a = 0 справедливо равенство XP /2 . Если в (39) положить δ = σ; δ = 2σ; δ = 3σ, то aXP ,012 6826, aXP ,0222 9544, aXP ,0323 9973. Таким образом, практически достоверно, что распределенная по нормальному закону случайная величина Х принимает свои значения в интервале aa 3;3 (правило трех сигм). Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Эмпирическим называют распределение относительных частот. Теоретическим называют распределение вероятностей. При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: 3 3 As / . Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством 3)/( 44 Ek . Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны: ks 0 ,,0,0 e aMaMEA , где XMa )( . Пример 1. Случайная величина X задана следующей таблицей распределения вероятностей: X 2 5 8 9 p 0,1 0,4 0,3 0,2 Найдем ( ), ( ), XXDXM )( . Решение. Так как известен закон (таблица) распределения вероятностей, то по формуле (2.9) XM )( = 2 ∙ 0,1 + 5 ∙ 0,4 + 8 ∙ 0,3+ 9 ∙ 0,2 = 6,4. Для вычисления XD )( найдем сначала )( 2 XM : М (X 2 ) = 4 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,4 + 64 ∙ 0,3 + 81 ∙ 0,2 = 45,8. По формуле (2.15) XD )( = 45,8 – 6,42 = 4,84. И, наконец, по формуле (2.19) X ,4)( 84 2,2 . Пример 2. Найдем математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05. Решение. Пусть X – число лотерейных билетов, на которые выпали выигрыши. Случайная величина X имеет биномиальное распределение, так как испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли. Поэтому XM )( = 100 ∙ 0,05 = 5, XD )( = 100 ∙ 0,05 ∙ 0,95 = 4,75. Пример 3. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по однойцели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найдите математическое ожидание числа попаданий в цель. Решение. Пусть случайная величина Х1 – число попаданий в цель для первого стрелка, Х2 – число попаданий в цель для второго стрелка, Х3 – число попаданий в цель для третьего стрелка. Тогда случайная величина Z = Х1 + Х2 + Х3 – число попаданий в цель трех стрелков. Но математическое ожидание суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их математических ожиданий. Следовательно, М(Z) = М (Х1) + М (Х2) + М (Х3). Таблица распределения вероятностей случайной величины Х1 X 0 1 p 0,3 0,7 Следовательно, М (Х1) = 0,7. Аналогично М (Х2) = 0,8 и М (Х3) = 0,9. Значит, М (Z) = 0,7 + 0,8 + 0,9 = 2,4. Пример 4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения: X 1 3 p 0,4 0,6 Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков. Решение. Найдем начальный момент первого порядка: 2,26,034,01)( 1 XM . Напишем закон распределения величины 2 X : X 2 1 9 p 0,4 0,6 Найдем начальный момент второго порядка: 8,56,094,01)( 2 2 XM . Напишем закон распределения величины 3 X : X 3 1 27 p 0,4 0,6 Найдем начальный момент третьего порядка: 4,01)( 27 6,0 16 6, 3 3 XM . Пример 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения: X 1 2 4 p 0,1 0,3 0,6 Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков. Решение. Центральный момент первого порядка равен нулю: 1 0 . Для вычисления центральных моментов удобно пользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные моменты: 1,36,043,021,01)( 1 XM ; 3,041,01)( 16 6,0 10 9, 2 2 XM ; 3,081,01)( 64 6,0 40 9, 3 3 XM ; 1,01)( 16 3,0 256 6,0 158 5, 4 4 XM . Найдем центральные моменты: 10 ,11,39, 29 2 2 122 ; 23 40 1,339, 10 ,01,329, 888 3 3 12133 ; 364 158 45, 40 61,39, 10 ,21,331,39, 7777 4 2 4 12 2 13144 . Пример 6. Плотность вероятности случайной величины имеет вид: 1 . sin ,0 2 1 0 ,0 )( при x x при x при x xf Построить график функции f(х) и на основе исследования графика показать, что вероятности попадания случайной величины в 2 ; 4 и 4 3 ; 2 равны между собой, а математическое ожидание случайной величины равно 2 Решение. График функции у = f(х) изображен на рисунке 16. Так как этот график симметричен относительно прямой х = 2 , то 1) 2 )( XM ; 2) площади криволинейных трапеций АВСD и DСЕF равны между собой. А площадь криволинейной трапеции равна вероятности попадания случайней величины в интервал, являющийся основанием этой трапеции. Следовательно, 24 XP 4 3 2 XP . Пример 7. Случайная величина X задана плотностью вероятности 5 2 1 )( xxf в интервале (10; 12), вне этого интервала f(х) = 0. Найдем 0,5 1 f(x) O π x С В А D F E Рис. 16 математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Решение. Найдем математическое ожидание, используя формулу (2.11): 1 2 1 0 3 1 5 11 2 1 )( xxXM dx . Дисперсию случайной величины найдем по формуле (2.18): 1 2 1 0 2 2 3 1 ((5 )) 2 1 )( xxXD dx XM . Зная дисперсию, найдем среднее квадратическое отклонение: ,0 526 3 1 X )( . Пример 8. Случайная величина X задана плотностью распределения 2cos2)( xxf в интервале )4/,0( вне этого интервала = 0. Найти: а) моду; б) медиану X. Решение. а) Легко убедиться, что функция 2cos2)( xxf в открытом интервале )4/,0( не имеет максимума, поэтому X моду не имеет. б) Найдем медиану Ме(Х) = me , исходя из определения медианы: e mXPmXP e , или, что то же, 2/1)( mXP e . Учитывая, что по условию возможные значения X положительны, перепишем это равенство так: 2/1)0( mXP e или me mxdx e 0 2/12sin2cos2 . Отсюда me 6/2/1arcsin2 . Следовательно, искомая медиана me /12. Пример 9. Случайная величина X в интервале (2, 4) задана плотностью распределения 6)2/9()4/3()( 2 xxxf ; вне этого интервала = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины X. Решение. Представим плотность распределения в виде 4/33)4/3()( 2 xf x . Отсюда видно, что при x 3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, 3)( 0 XM . (Разумеется, можно было найти максимум методами дифференциального исчисления.) Кривая распределения симметрична относительно прямой x 3, поэтому М(Х) = 3 и Ме(Х) = 3. Пример 10. Случайная величина Х задана плотностью распределения 5,0)( xxf в интервале )2,0( ; вне этого интервала = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков. Решение. По формуле 2 0 xfx )( dx k k найдем начальные моменты: 2 0 1 3 4 5,0 xx dx ; 2 0 2 2 xx dx 25,0 ; 2 0 3 3 xx dx 2,35,0 ; 2 0 4 4 3 16 5,0 xx dx . Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины 1 0 . Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные: 2 122 ; 3 23 12133 ; 4 12 2 13144 364 . Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты, получим: 2 9/2 , 3 /8 135, 4 16/135. Пример 11. Поезда метро идут с интервалом в 2 минуты. Пассажир появляется на перроне в произвольный момент времени. Время ожидания поезда есть случайная величина X, имеющая равномерное распределение вероятностей. Найдем плотность вероятности, интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение. Из условия задачи ba 2,0 . Тогда, применяя формулу (2.27), получим: ,0 .2 ,20, 2 1 ,0 ,0 )( если x если x если x xf Формула (5) позволяет найти интегральную функцию распределения. При 00)(0 x xFx dx . При xFx dxdx x x 2 1 2 1 0)(20 0 0 . При 10 2 1 0)(2 2 2 0 0 x xFx dxdxdx . Следовательно, ,1 .2 ,20, 2 1 ,0 ,0 )( если x x если x если x xF Так как график функции xfy )( симметричен относительно прямой x 1 , то xM 1)( . Дисперсию случайной величины X найдем по формуле (2.18): 3 1 1 6 (( )) 2 1 )( 2 0 3 2 2 0 2 x xXD dx XM Пример 12. Событие, состоящее из мгновенного сигнала, должно произойти между одним и пятью часами. Время ожидания сигнала есть случайная величина X, имеющая равномерное распределение. Какова вероятность того, что сигнал будет зафиксирован в течение 20 мин после двух часов? Решение. Случайная величина X имеет равномерное распределение в интервале (1; 5). Найдем вероятность того, что при испытании ее возможное значение попадет в интервал 3 1 2;2 . По формуле (2.28) ,0 083 4 3/1 3 1 22 XP . Пример 13. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14). Решение. Воспользуемся формулой: a a XP )( . Подставив α =12, β = 14, а = 10 и σ = 2, получим Р (12 < X < 14) = Ф(2)–Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф (2)=0,4772, Ф (1)=0,3413. Искомая вероятность Р (12 < X < 14)=0,1359. Пример 14. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных. Решение. Так как X – отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то М(Х) = а = 0. Воспользуемся формулой XP /2 . Подставив δ = 0,7, σ = 0,4, получим aXP ,1(24,0/7,027,0 75 ,02) 4599 ,0 92. Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными. Пример 15. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания X в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (0, 10)? Решение. Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой x = а = 10, то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу – интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то Р (0 < X < 10)= P (10 < X < 20) = 0,3. Пример 16. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ = 5. Решение. Подставив λ = 5 в соотношения (2.35) и (2.36), получим 5 ,0 0 ,0 )( 5 e при x при x xf x 1 .0 0 ,0 )( 5 e при x при x xF x Пример 17. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности x exf 3 3)( при x 0 ; при xfx 0)(0 . Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,13; 0,7). Решение. Используем формулу ba eebXaP )( . Учитывая, что, по условию, а = 0,13, b = 0,7, λ = 3, получим ,0( 13 )7,0 ,0 677 ,0122 ,0 555 ,03 1 3 7,03 eeXP . Пример 18. Найти: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: x exf 3 3)( при x 0 ; xf 0)( при х < 0. Решение. а) Используем формулу 9/1/1)( 2 XD . б) Найдем среднее квадратическое отклонение 3/1/1/1)()( 2 XDX . 2.3. Законы больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей. Пусть имеется п попарно независимых СВ дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной С. Обозначим Сформулируем теорему Чебышева, которую называют законом больших чисел. Теорема: Если для независимых СВ дисперсии то для любого числа > 0 справедливо Сущность теоремы Чебышева заключается в том, что хотя каждая из независимых СВ может принять значение, далекое от среднее арифметическое при достаточно большом п с большой вероятностью будет весьма близко к Практическое значение этого факта заключается в том, что можно принять в качестве искомого значения некоторой измеряемой величины среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Простейшей формой закона больших чисел является утверждение в теореме Бернулли. Теорема: Пусть — число наступлений события А в n независимых испытаниях, р = р(А) — вероятность наступления А в каждом из испытаний. Тогда для любого Большое значение для практики имеет также теорема Ляпунова, которую называют центральной предельной теоремой. Приведем ее в упрощенном виде. Теорема: Если независимые СВ имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией то при неограниченном увеличении закон распределения нормированной СВ как угодно мало отличается от нормального: Общая теорема Ляпунова обобщает данный вывод на случай различных распределений независимых СВ если роль каждой из них в образовании нормированной СВ мала. |
Скачать 38.14 Kb.