Задача 2. Седьмая математическое ожидание дискретной случайной величины

• Название: Седьмая математическое ожидание дискретной случайной величины
• Анкор: Задача 2.doc
• Дата: 27.04.2017
• Размер: 1.95 Mb.
• Имя файла: Задача 2.doc
• Тип: Глава; #5986
• страница: 1 из 7

Глава седьмая

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.
§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Xможет принимать только значения х₁, х₂, ..., х_п, вероятности которых соответственно равны р_1, р₂, . . ., р_п. Тогда математическое ожидание М (X)случайной величины Xопределяется равенством

М (X)= х₁р₁+ х₂р₂+ … + x_np_n.

Если дискретная случайная величина Xпринимает счетное множество возможных значений, то

М(Х)=

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. Рекомендуем запомнить это утверждение, так как далее оно используется многократно. В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

X	3	5	2
p	0,1	0,6	0,3

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

M(X)=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

Решение. Случайная величина X— число появлений события А в одном испытании — может принимать только два значения: х₁=1(событие А наступило) с вероятностью р и х₂ = 0(событие А не наступило) с вероятностью q= 1 —р. Искомое математическое ожидание

M(X)=1*p+0*q=p

Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Этот результат будет использован ниже.
§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания
Пусть произведено п испытаний, в которых случайная величина Xприняла т₁раз значение х₁, т₂раз значение х₂,...,m_kраз значение x_k, причем т₁+т₂+ …+т_к = п. Тогда сумма всех значений, принятых X, равна

х₁т₁+ х₂т₂+ ... + х_кт_к.

Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых, случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

= (х₁т₁+ х₂т₂+ ... + х_кт_к)/п,

или

= х₁(m₁/ n)+ х₂(m₂/n)+ ... + х_к(т_к/п). (*)

Заметив, что отношение m₁/ n — относительная частота W₁значения х₁, m₂/ n— относительная частота W₂значения х₂и т. д., запишем соотношение (*) так:

= х₁W₁ + x₂W₂ + ... + х_кW_k. (**)

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события (это будет доказано в гл. IX, § 6):

W₁ p₁, W₂ p₂, …, W_k p_k.

Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

x₁p₁+ х₂р₂+ … + х_кр_к.

Правая часть этого приближенного равенства есть М (X). Итак,

М (X).

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Замечание 1. Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения.

Этот термин заимствован из механики: если массы р₁, р₂, ..., р_п расположены в точках с абсциссами x_1, х₂,..., х_n, причем то абсцисса центра тяжести

x_c=.

Учитывая, что = M(X)и получим М(Х) = х_с.

Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы — их вероятностям.

Замечание 2. Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI — XVII вв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.
§ 4. Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно,

М (С) = С*1= С.

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Xкак дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Например, если вероятность возможного значения х₁равна p₁, то вероятность того, что величина СХ примет значение Сх₁, также равна p_1.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина Xзадана законом распределения вероятностей:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Учитывая замечание1, напишем закон распределения случайной величины CX:

CX	Cx1	Cx2	…	Cxn
p	P1	P2	…	pn

Математическое ожидание случайной величины СХ:

M(CX) = Cx₁p₁ + Cx₂p₂+...+Cx_np_n = С (х₁р₁+ x₂p_z + . .. + х_пр_п)= СМ (X).

Итак,

М(СХ)=СМ(Х).

Замечание 2. Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин Xи Yкак случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Xна каждое возможное значение Y; вероятности возможных значений произведения XYравны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения х₁равна р₁ вероятность возможного значения y₁ равна g₁, то вероятность возможного значения x₁y₁равна p₁g₁.

Заметим, что некоторые произведения x₁y₁могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если х₁у₂ = х₃ у₅, то вероятность х₁у₂(или, что то же, х₃у₅)равна p₁g₂+p₃g₅

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y).

Доказательство. Пусть независимые случайные величины Xи Yзаданы своими законами распределения вероятностей (Для упрощения выкладок мы ограничимся малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное):

X	x1x2	Y	y1y2
P	p1p2	g	g1g2

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения Xна каждое возможное значение Y; в итоге получим х₁у₁, х₂у₁, х₁у₂и х₂у₂. Учитывая замечание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

XY	х1у1	х2у1	х1у2	х2у2
p	p1g1	p2g1	p1g2	p2g2

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

М (XY) = х₁у₁* p₁g₁+ х₂у₁* p₂g₁+ х₁у₂* p₁g₂+ х₂у₂* p₂g₂

или

М (XY)= y₁g₁(х₁р₁+ x₂p₂)+ y₂g₂ (x₁p₁+ x₂p₂)=(x₁p₁+ x₂p₂)(y₁g₁+ y₂g₂) = M(X)*M(Y)

Итак, M(XY) = M(X)*M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = М (XY*Z) = M(XY)M(Z) = M(X) М (Y)M`.

Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. Независимые случайные величины Xи Yзаданы следующими законами распределения:

X	5	2	4	Y	7	9
p	0,6	0,1	0,3	p	0,8	0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

M(X) = 5*0,6 + 2*0,1+ 4*0,3 = 4,4;

М (Y) = 7*0,8+9*0,9=7,4.

Случайные величины Xи Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

М (XY) = M(X) М (Y) = 4,4*-7,4 = 32,56.

Замечание 4. Определим сумму случайных величин Xи Yкак случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Xс каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений X+-Yдля независимых величин Xи Yравны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы х+у могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если x₁+y₂ == х₃+у₅и вероятности этих возможных значений соответственно равны р₁₂и p₃₅, то вероятность x₁+ x₂(или, что то же, x₃+y₅)равна р₁₂+p₃₅.

Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X + Y) = М (X) + М (Y).

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения (Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное):

X	x1	x2	Y	y1	y2
P	p1	p2	g	g1	g2

Составим все возможные значения величины Х + Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение Y; получим х₁+у₁, х₁ + у₂, х₂+у₁, х₂ + у₂, Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через р₁₁, р₁₂, р₂₁и р₂₂.

Математическое ожидание величины Х + Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

M(X+Y)=( х₁+у₁) р₁₁+( х₁ + у₂) р₁₂+( х₂+у₁) р₂₁+( х₂ + у₂) р₂₂,

или

M(X + Y)=x₁(р₁₁+ р₁₂)+ х₂(р₂₁+ р₂₂) + у₁(р₁₁+ р₂₁)+ у₂(р₁₂+ р₂₂). (*)

Докажем, что р₁₁+ р₁₂= p₁. Событие, состоящее в том, что Xпримет значение х₁(вероятность этого события равна р₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Yпримет значение x₁+y₁или х₂+у₂(вероятность этого события по теореме сложения равна р₁₁+ р₁₂) и обратно. Отсюда и следует, что р₁₁+ р₁₂= p₁.Аналогично доказываются равенства

р₂₁+ р₂₂=p₂ , р₁₁+ р₂₁=g₁и р₁₂+ р₂₂=g₂.

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим

M(X+Y)=(x₁p₁+ х₂р₂) +(y₁g₁+y₂g₂),

или окончательно

М (X + Y) = М (X)+ М (Y).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

M(X+Y+Z)=M[(X+Y)+Z]= М (X + Y)+ M(Z) = М (X)+ М (Y) + М (Z).

Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁ = 0,4; р₂ = 0,3и р₃ =0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина X₁которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р₁ = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q=1—0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. § 2, пример 2), т. е. М (X₁) = 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(Х₂)=0,3, М (Х₃) = 0,6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

X= X₁+ Х₂+ Х₃.

Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:

М (X)= M(X₁+Х₂+X₃)= М (Х₁)+М (Х₂) + М (Х₃)= 0,4+0,3+0,6=1,3 (попаданий).

Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Xи на второй — через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

М (X)= 1*(1/6)+ 2*(1/6)+ 3*(1/6)+ 4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6)=7/2.

Очевидно, что и М (X) = 7/2.

Искомое математическое ожидание

М (X+Y)= М (X)+М (Y)= 7/2 + 7/2 = 7.
§ 5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание М (X) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

M(X)=np.

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины Xчисло наступления события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число Xпоявлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁—число появлений события в первом испытании, Х₂— во втором, ..., Х_п— в n-м, то общее число появлений события X= Х₁ + Х₂+ .. ..+ Х_n.

По третьему свойству математического ожидания,

М(Х) = М(Х₁) + М(Х₂)+. ..+М(Х_п). (*)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М (Х₁) — в первом, М (Х₂) — во втором и т. д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события (см. § 2, пример 2), то М(Х₁)=М(Х₂)= М(Х_п)=р. Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждого слагаемого р, получим

М(Х)=пр. (**)

Замечание. Так как величина Xраспределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами п и р равно произведению пр.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М(Х)=пр = 10*0,6 = 6 (попаданий).
Задачи
1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:

X	6	3	1
p	0,2	0,3	0,5

Отв. 2,6.

2. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель p₁= 0,6, р₂ = 0,4, р₃ = 0,5 и p₄=0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Отв. 2,2 попадания.

3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X	1	2	Y	0,5	1
p	0,2	0,8	p	0,3	0,7

Найти математическое ожидание произведения XYдвумя способами: а) составив закон распределения XY; б) пользуясь свойством 3.

Отв. 1,53.

4. Дискретные случайные величины Xи Yзаданы законами распределения, указанными в задаче 3. Найти математическое ожидание суммы X+Yдвумя способами: а) составив закон распределения X+Y; б) пользуясь свойством 4.

Отв. 2,65.

5. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

Отв. 2детали.

6. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Отв. 12,25 очка.

7. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем нероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Отв. 6 билетов.