Задача 2. Седьмая математическое ожидание дискретной случайной величины
 Скачать 1.95 Mb.
|
|
§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Xпо абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |Х— а|<. Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством — <Х — а<, или а — < X<a+ Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим  Приняв во внимание равенство Ф( — /) = —Ф( / ) (функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем Р (| X— а |< ) = 2Ф ( /). В частности, при а = 0 Р (| X |< ) = 2Ф ( /).  На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а=О, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (—,), больше у той величины, которая имеет меньшее значение . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра ( есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания). Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X — а|< и |Х—а|  , — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X — а| < равна р, то вероятность неравенства |Х—а| равна 1—р.Пример. Случайная величина Xраспределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Xсоответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех. Решение. Воспользуемся формулой Р (| X— а |< ) = 2Ф ( /). По условию, = 3, а=20, =10. Следовательно, Р (| X —20 | < 3) = 2Ф (3/10) =2Ф (0,3). По таблице приложения 2 находим Ф (0,3) =0,1179. Искомая вероятность Р (| X—20| < 3) = 0,2358. § 7. Правило трех сигм Преобразуем формулу (см. § 6) Р (| X— а |< ) = 2Ф ( /), положив = t. В итоге получим Р (| X— а |< t) = 2Ф (t). Если t= 3 и, следовательно, t =3 то Р (| X—а |< 3) = 2Ф (3) = 2 * 0,49865 = 0,9973, т, е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально. § 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, сложность, и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку». Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения. Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному. Пусть Х1, Х2, ..., Хn,,…- последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию: M(Xk)=ak, D(Xk)=  .Введем обозначения: Sn = X1 + X2+ . . . +Хn, An=  , Обозначим функцию распределения нормированной суммы через Fn(x)=P  Говорят, что к последовательности Х1, Х2, ... применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при п  стремится к нормальной функции распределения: В частности, если все случайные величины X1, Х2,... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Xi(i= 1, 2, ...) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для > 0 при п отношение Ляпунова стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Х1, Х2,… применима центральная предельная теорема. Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (Sn— Ап)/Впоказывало на сумму ничтожное влияние. Замечание. Для доказательства центральной предельной теоремы А. М. Ляпунов использовал аппарат характеристических функций. Характеристической функцией случайной величины Xназывают функцию (t)=M[eitX]. Для дискретной случайной величины Xс возможными значениями хk, и их вероятностями рkхарактеристическая функция  Для непрерывной случайной величины Xс плотностью распределения f(х)характеристическая функция  Можно доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. § 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика. Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей. Вэтом параграфе рассматриваются теоретические распределения. При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального. Как оценить асимметрию? Можно доказать, что для симметричного распределения (график такого распределения симметричен относительно прямой х = М (X))каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля. Поэтому любой из этих моментов (кроме момента первого порядка, который равен нулю для любого распределения) может служить для оценки асимметрии; естественно выбрать простейший из них, т. е. момент третьего порядка 3. Однако принять этот момент для оценки асимметрии неудобно потому, что его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток, 3 делят на и таким образом получают безразмерную характеристику. Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: As= Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна (рис. 10, а), если слева — отрицательна (рис. 10, б).  Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой — эксцессом. Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством Ek=()-3. Для нормального распределения = 3; следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11, а); если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11,6). При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.  § 10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение Предварительно заметим, что далее, вместо того чтобы говорить «закон распределения вероятностей», будем часто говорить кратко—«распределение». Если каждому возможному значению случайной величины Xсоответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Yназывают функцией случайного аргумента X: Y=(X). Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента. 1. Пусть аргумент X—дискретная случайная величина. а) Если различным возможным значениям аргумента Xсоответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений Xи Y между собой равны. Пример 1. Дискретная случайная величина Xзадана распределением
Найти распределение функции Y=X2. Решение. Найдем возможные значения Y :у1 = 22=4; у2=32=9. Напишем искомое распределение Y:
б) Если различным возможным значениям Xсоответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y. Пример 2. Дискретная случайная величина Xзадана распределением
Найти распределение функции Y = Х2. Решение. Вероятность возможного значения у1 = 4равна сумме вероятностей несовместных событий Х=-2, Х = 2, т. е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения у2=9равна 0,1. Напишем искомое распределение Y:
2. Пусть аргумент X— непрерывная случайная величина. Как найти распределение функции Y = (X), зная плотность распределения случайного аргумента X? Доказано: если у=(х)—дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой x =(y), то плотность распределения g(y)случайной величины Yнаходится с помощью равенства g(y)=f[(y)]| ‘(y)|. Пример 3. Случайная величина Xраспределена нормально, причем ее математическое ожидание а = 0. Найти распределение функции Y = X3. Решение. Так как функция у = х3дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу g(y)=f[(y)]| ‘(y)|. (*) Найдем функцию, обратную функции у=х3: (y)=x=y1/3 Найдем f [ (у)]. По условию,  поэтому f [ (у)]=f[y1/3]=  (**)Найдем производную обратной функции по у: ’(y)=(y1/3)’=  (***)Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) и (*): g(y)=  Замечание. Пользуясь формулой (*), можно доказать, что линейная функция Y =АХ+В нормально распределенного аргумента X также распределена нормально, причем для того чтобы найти математическое ожидание Y, надо в выражение функции подставить вместо аргумента Xего математическое ожидание а: M(Y)=Aa+B; для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение Y, надо среднее квадратическое отклонение аргумента Xумножить на модуль коэффициента при X: (Y)= | А | (X). Пример 4. Найти плотность распределения линейной функции Y= ЗХ+1, если аргумент распределен нормально, причем математическое ожидание X равно 2 и среднее квадратическое отклонение равно 0,5. Решение. Найдем математическое ожидание Y: M(Y)=3*2+1=7. Найдем среднее квадратическое отклонение Y: (Y)=3*0,5=1,5 Искомая плотность распределения имеет вид g(y)=  § 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента Задана функция Y= (X)случайного аргумента X. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента. 1. Пусть аргумент X—дискретная случайная величина с возможными значениями x1, х2,..., хп, вероятности которых соответственно равны р1, р2, ..., рп. Очевидно, Y—также дискретная случайная величина с возможными значениями у1 =(х1), уг =(х2), . .., уn= (xn). Так как событие «величина Xприняла значение xi» влечет за собой событие «величина Yприняла значение (xi)», то вероятности возможных значений Yсоответственно равны р1, р2, . .., рп. Следовательно, математическое ожидание функции  (*)Пример 1. Дискретная случайная величина Xзадана распределением
Найти математическое ожидание функции Y=(X)=Х2+1. Решение. Найдем возможные значения Y: (1)=12+1=2; (3)=32+1 = 10; (5) = 52+1=26. Искомое математическое ожидание функции Yравно М[Х2+1]= 2*0,2+ 10*0,5 + 26*0,3= 13,2. 2. Пусть аргумент X— непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x). Для отыскания математического ожидания функции Y=(Х) можно сначала найти плотность распределения g(y)величины Y, а затем воспользоваться формулой  Однако если отыскание функции g(y)является затруднительным, то можно непосредственно найти математическое ожидание функции (X)по формуле  В частности, если возможные значения Xпринадлежат интервалу (a,b), то  (**)Опуская доказательство, заметим, что оно аналогично доказательству формулы (*), если заменить суммирование интегрированием, а вероятность — элементом вероятности f(x)  .Пример 2. Непрерывная случайная величина Xзадана плотностью распределения f (х)= sin xв интервале (0, /2); вне этого интервала f/ (х)= 0. Найти математическое ожидание функции Y= (Х) = Х2. Решение. Воспользуемся формулой (**). По условию, f(х)=sin х, (x)=x2, а=0, b = /2. Следовательно,  Интегрируя по частям, получим искомое математическое ожидание М [Х2] = § 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения Если каждой паре возможных значений случайных величин Xи Yсоответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Xи Y: Z = (X, Y). Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Z = X + Yпо известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X— погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y— погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача — найти закон распределения суммы погрешностей Z=X + Y. 1. Пусть Xи Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:
Составить распределение случайной величины Z = X+Y. Решение. Возможные значения Zесть суммы каждого возможного значения Xсо всеми возможными значениями Y: z1=1+3=4; z2=1+4=5; z3=2+3=5; z4=2+4=6. Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 4, достаточно, чтобы величина Xприняла значение x1 =1 и величина Y— значение y1 = 3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2. Аргументы XиYнезависимы, поэтому события Х=1и Y = 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z= 1+3 = 4) по теореме умножения равна 0,4*0,2 = 0,08. Аналогично найдем: P(Z= 1+4=5) =0,4*0,8=0,32; Р (Z = 2 + 3 = 5) = 0,6*0,2 = 0,12; Р (Z = 2 + 4 = 6)=0,6*0,8 = 0,48. Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z2, Z = z3(0,32+0,12 = 0,44):
Контроль: 0,08 + 0,44+0,48=1. 2. Пусть X и Y— непрерывные случайные величины. Доказано: если Xи Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале(  ) одной формулой) может быть найдена с помощью равенства (*)либо с помощью равносильного равенства  (**)где f1, f2 — плотности распределения аргументов. Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z)находят по формуле  (***)либо по равносильной формуле  (****) Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией. Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X и Y — независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и дисперсиями, соответственно равными а1= З, а2 = 4, D1=1, D2 = 0,5, то композиция этих величин (т. е. плотность вероятности суммы Z = X+ Y)также распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а = 3 + 4 = 7; D=l +0,5=1,5. Пример 2. Независимые случайные величины Xи Yзаданы плотностями распределений: f(x)=  ;f(y)=  .Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X+Y. Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, Поэтому воспользуемся формулой (***)  Заметим, что здесь z 0, так как Z=X+Yи, по условию, возможные значения X и Y неотрицательны.Рекомендуем читателю для контроля убедиться, что  В следующих далее параграфах кратко описаны распределения, связанные с нормальным, которые будут использованы при изложении математической статистики. § 13. Распределение «хи квадрат» Пусть Xi(i = 1, 2, ..., п)— нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение—единице. Тогда сумма квадратов этих величин  распределена по закону  («хи квадрат») с k = п степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например ,то число степеней свободы k=n- 1.Плотность этого распределения  где  — гамма-функция; в частности, (n+1)=n!.Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром — числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. § 14. Распределение Стьюдента Пусть Z—нормальная случайная величина, причем M(Z) = 0, (Z)=1, a V—независимая от Zвеличина, которая распределена по закону сkстепенями свободы. Тогда величина (*)имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с kстепенями свободы. Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с kстепенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с kстепенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XVI, § 16). § 15. Распределение FФишера — Снедекора Если Uи V—независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k1и k2, то величина (*)имеет распределение, которое называют распределением FФишера—Снедекора со степенями свободы k1и k2 (иногда его обозначают через V2). Плотность этого распределения  где  Мы видим, что распределение Fопределяется двумя параметрами—числами степеней свободы. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XIX, § 8). Задачи 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, зная ее плотность распределения: а)  при остальных значениях x; б) f(x)=1/2lпри а — l  xa+l, f(x)=0при остальных значениях х.Отв. a) М (Х)= 0, D(X) = l/2; б) М(Х) = а, D(X)= l2/3. 2.Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (4,8). Отв. 0,6826. 3.Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3. Отв. 0,5468. 4.Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением =1 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм. Отв. 0,96. 5. Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 1,6 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов стандартных валиков изготовляет автомат? Отв. Примерно 79%. 6. Дискретная случайная величина Xзадана законом распределения:
Найти закон распределения случайной величины Y=X4.
7.Непрерывная случайная величина Xзадана плотностью распределения f(x). Найти дифференциальную функцию g(y)случайной величины Y, если: а) Y = Х+1(  < х <  ); б) Y =2Х (— а < x < а).Отв. a) g(у) =f(y— 1)( < y< );б) g(y) =1/2f(y/2)(— 2а < у < 2а). 8.Независимые дискретные случайные величины заданы следующими законами распределения:
Найти законы распределения функций: a) Z = X+Y; б) Z = XY.
9.Независимые случайные величины Xи Yзаданы плотностями распределений  Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X+Y. Отв.  |