Задача 2. Седьмая математическое ожидание дискретной случайной величины
![]()
|
Глава десятая ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ § 1. Определение функции распределения Вспомним, что дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (a,b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины. Пусть х—действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т. е. вероятность события X< х, обозначим через F(х). Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и F(x), т.е. F(х)—функция от х. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Xв результате испытания примет значение, меньшее х, т. е. F(x)=P(X< х). Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х)есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. § 2. Свойства функции распределения Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [О, 1]: 0 ![]() ![]() Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы. Свойство 2. F(х)—неубывающая функция, т. е. F(x2) ![]() Доказательство. Пусть х2> х1. Событие, состоящее в том, что Xпримет значение, меньшее х2, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) Xпримет значение, меньшее х1, с вероятностью Р (X< x1); 2) Xпримет значение, удовлетворяющее неравенству x1 ![]() ![]() ![]() ![]() Р (X< х2)= Р (X < х1) + Р (x1 ![]() ![]() Отсюда Р (X< х2) - Р (X < х1)= Р (x1 ![]() ![]() или F(x2)—F(x1)= Р (x1 ![]() ![]() Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)— F(x1) ![]() ![]() Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a ![]() Это важное следствие вытекает из формулы (*), если положить х2=bи х1= а. Пример. Случайная величина Xзадана функцией распределения ![]() Найти вероятность того, что в результате испытания Xпримет знамение, принадлежащее интервалу (0, 2): Р (0 ![]() ![]() Решение. Так как на интервале (0, 2), по условию, F(x) = x/4+1/4, то F(2) — F(0) = (2/4+ 1/4)- (0/4+ 1/4) = 1/2. Игак, Р(0 < X< 2) = 1/2. Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю. Действительно, положив в формуле (**) а = х1, b = х1+ ![]() P(х1 ![]() ![]() ![]() Устремим ![]() ![]() Р (а ![]() ![]() ![]() ![]() Например, равенство Р(а<Х ![]() Р(а<Х ![]() Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответствует требованиям практических задач. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером. Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р (X=х1) означает, что событие Х=х1 невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х1. Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F(x) = 0 при х ![]() ![]() Доказательство. 1) Пусть x1 ![]() 2) Пусть х2 ![]() Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: ![]() § 3. График функции распределения Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины. График расположен в полосе, ограниченной прямыми y = 0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а,b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство). При х ![]() ![]() График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 2. ![]() Замечание. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Убедимся в этом на примере. Пример. Дискретная случайная величина Xзадана таблицей распределения
Найти функцию распределения и вычертить ее график. Решение. Если х ![]() ![]() Если 4 < х ![]() ![]() Если х > 8, то F(x) = 1. Действительно, событие Х ![]() Итак, функция распределения аналитически может быть записана так: ![]() График этой функции приведен на рис. 3. ![]() Задачи 1. Случайная величина Xзадана функцией распределения ![]() Найти вероятность того, что в результате испытания Xпримет значение, заключенное в интервале (0, 1). Отв. 1/3. 2. Случайная величина X задана функцией распределения ![]() Найти вероятность того, что в результате испытания Xпримет значение, заключенное в интервале (2, 3). Отв. 1/2. 3. Дискретная случайная величина Xзадана законом распределения
Построить график функции распределения этой величины. Глава одиннадцатая ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ § 1. Определение плотности распределения Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределении или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией). Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(х)— первую производную от функции распределения F(х): f(х)= F' (х). Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима. § 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: Р(а<Х<b) = ![]() Доказательство. Используем соотношение (**) (см. гл. X, § 2) Р(а ![]() По формуле Ньютона — Лейбница, F(b) — F(a)= ![]() Таким образом, Р(а ![]() ![]() Так как Р(а ![]() Р(а<Х<b) = ![]() Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (х)и прямыми х =а и х=b. Замечание. В частности, если f(х)— четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то Р(-а<Х<a) = Р(|Х|<a) =2 ![]() Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X ![]() Найти вероятность того, что в результате испытания Xпримет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1). Решение. Искомая вероятность Р (0,5 < X < 1)= ![]() § 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения Зная плотность распределения f(х), можно найти функцию распределения F(х) по формуле F(x) = ![]() Действительно, мы обозначили через F(х)вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х, т. е. F(x) = P(X<x). Очевидно, неравенство X< х можно записать в виде двойного неравенства - ![]() F(х)=Р(- ![]() Полагая в формуле (*) (см. § 2) а=- ![]() Р(- ![]() ![]() Наконец, заменив Р (- ![]() F(x) = ![]() Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно: f(x)=Г’(x). Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения: ![]() ![]() Построить график найденной функции. Решение. Воспользуемся формулой F(x)= ![]() Если x ![]() ![]() ![]() Если х > b, то F(x)= ![]() Итак, искомая функция распределения ![]() График этой функции изображен на рис. 4. ![]() § 4. Свойства плотности распределения Свойство 1. Плотность распределения—неотрицательная функция: f(x) ![]() Доказательство. Функция распределения — неубывающая функция, следовательно, ее производная F'(х)=f(х)—функция неотрицательная. Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения. Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ![]() ![]() ![]() Доказательство. Несобственный интеграл ![]() ![]() ![]() Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривом распределения, равна единице. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то ![]() Пример. Плотность распределения случайной величины Xзадана: f(x)= ![]() Найти постоянный параметр а. Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию ![]() ![]() Отсюда ![]() Найдем неопределенный интеграл: ![]() Вычислим несобственный интеграл: ![]() Таким образом, искомый параметр a= ![]() § 5. Вероятностный смысл плотности распределения Пусть F(х)—функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения, f (х)= F' (х), или в иной форме ![]() Как уже известно, разность F(x+ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По аналогии с определением плотности массы в точке (Если масса непрерывно распределена вдоль оси х по некоторому закону, например F(х), то плотностью р (х)массы в точке х называют предел отношения массы интервала (х, х+ ![]() ![]() ![]() Итак, функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е. F( х+ ![]() ![]() или F( х+ ![]() ![]() Так как F'(x) = f(x)и dx= ![]() F( х+ ![]() ![]() ![]() Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + ![]() ![]() ![]() Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+ ![]() ![]() ![]() На рис. 5 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению f(x) ![]() ![]() § 6. Закон равномерного распределения вероятностей При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений. В настоящем параграфе рассматривается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены следующие две главы. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение. Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины. Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, Xимеет равномерное распределение. Найдем плотность равномерного распределения f(х), считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (a,b), на котором функция f (х)сохраняет постоянные значения: По условию, Xне принимает значений вне интервала (a,b), поэтому f(x)=Oпри х < а и х > b. Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то должно выполняться соотношение ![]() ![]() Отсюда ![]() Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения ![]() График плотности равномерного распределения изображен на рис. 6, а график функции распределения—на рис. 4. ![]() Замечание. Обозначим через Rнепрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1), а через r— ее возможные значения. Вероятность попадания величины R(в результате испытания) в интервал (с, d),. принадлежащий интервалу (0, 1), равна его длине: Р (с < R< d)=d — с. Действительно, плотность рассматриваемого равномерного распределения f(r)=1/(1-0)=1. Следовательно, вероятность попадания случайной величины Rв интервал (с, d)(см. гл. XI, § 2) P(c<R<d)= ![]() Далее случайная величина Rиспользуется неоднократно (см. гл. XXI). Задачи 1.Случайная величина задана плотностью распределения ![]() Найти коэффициент а. Отв. а = 1/2. 2. Случайная величина задана плотностью распределения ![]() Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0, /4). Отв. ![]() 3. Случайная величина Xзадана функцией распределения ![]() Найти плотность распределения. Отв.f(х)=1 в интервале (0, 1); вне этого интервала f(х) = 0. 4. Случайная величина Xзадана функцией распределения ![]() Отв. f(x) = (sinx)/2в интервале (0,); вне этого интервала f(x)=0. |