теор вер. Решение Решение

Название	Решение Решение
Дата	14.06.2020
Размер	125.32 Kb.
Формат файла
Имя файла	теор вер.docx
Тип	Решение #130191

Зима

Задание 1
Шифр кодового замка состоит из трёх цифр. Найти вероятность того, что:
1) все они различны

Решение:

Решение. Так как на каждом из 3 мест в шифре может стоять любая из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных номеров по правилу произведения будет n=10*10*10=1000. Номера, в которых все цифры различны, - это размещения из 10 элементов (10 цифр) по 3. Поэтому число благоприятствующих исходов m=A³₁₀. Искомая вероятность равна

=0.72

2) шифр заканчивается цифрой 7

m=A³₇=7*6*5=210

=0.6

Задание 2
Из 28 костей домино случайно выбирается две. Найти вероятность того, что из них можно составить цепочку составить цепочку согласно правилам игры.
Количество вариантов выбора 2 костей равно 28*27=756. Порядок имеет значение. Это используем и дальше.

Подсчитаем количество благоприятных случаев (чтобы кости подходили, т.е. совпадало хотя бы по одному значению на обеих костях).

Если первая кость дубль, то это 7 вариантов. К ней подходит 6 "не дублей". Всего 7*6=42

Если первая - "не дубль", то таких костей 21. К первому числу подходит 6 костей и ко второму числу 6 костей, значит для первой кости - "не дубль" подходит 12 вариантов, а всего благоприятных исходов 21*12 = 252.

Общее кол-во благоприятных исходов 42+252 = 294.

Р = 294/756 = 0,388...≈ 0,389

Задание 3
Стрелок произвел три выстрела по мишени. Событие А – попадание в мишень при к-ом выстреле (к=1,2,3). Выразить через А1, А2, А3. Следующие события:
А- хотя бы одного попадания

Событие (А1+A2+A3) – хотя бы одно попадание в цель.

Вероятность хотя бы одного попадания в цель: P(A1+A2+A3)=1-P(

)

Б –три промаха
Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р(

)

Событиевсе промахнулисьP(Б)= (

)

Задание 4

В собираем механизм входят две одинаковые шестерни. Технические условия нарушаются, если обе они оказываются с отклонениями по толщине зуба в положительную сторону от среднего размера (заедание). У сборщика имеется 10 шестерён из которых 3 с плюсовым отклонением. Определить вероятность нарушения технических условий при случайном выборе двух шестерён.

общее число исходов

Р=m/n=3/120=0.025

Задание 5

Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций следует взять, чтобы рассчитывать на выигрыш с вероятностью, большей 0.95?

Пусть вероятность события A_i– выигрыша по i-мy билету равна р,т.е. P(Ai)= р.Тогда вероятность выигрыша хотя бы по одному из пприобретенных билетов, т.е. вероятность суммы независимых событий A₁,A₂,...,A_i,...,A_nопределится по формуле P(A₁+A₂+…+A_n) = 1-(1-p)ⁿ

По условию 1-(1-p)ⁿ ≥ R , где R = 0,95, откуда (1 - p)ⁿ≤ 1 – R

Логарифмируя обе части неравенства, имеем nlg(1 - p) ≤ lg(1 - R)

Учитывая, что lg(1 - p) – величина отрицательная, получим

)

По условию р = 0,5, R = 0,95. По формуле

n

,

т.е. n ≥ 4 и необходимо купить не менее 4 лотерейных билетов.

Лето

ВАРИАНТ 5

Задача 1. Дискретная случайная величина X (CB X) задана рядом распределения:

xi	20	40	50	70	80
pi	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Найти: 1) функцию распределения F(x);

2) числовые характеристики: математическое ожидание М(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X), моду M0(Х);

3) вероятность P(40 ≤ X < 80).

Построить многоугольник распределения и график F(x).

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.

Математическое ожидание M[X]. M[x] = 20*0.2 + 40*0.1 + 50*0.4 + 70*0.2 + 80*0.1 = 50

Дисперсию находим по формуле d = ∑x²_ip_i - M[x]². Дисперсия D[X].

D[X] = 20²*0.2 + 40²*0.1 + 50²*0.4 + 70²*0.2 + 80²*0.1 - 50² = 360

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Мода распределения равна 50 так как P = 0,4 максимально M0(X)=50

Функция распределения F(X).

F(x≤20) = 0

F(20< x ≤40) = 0.2

F(40< x ≤50) = 0.1 + 0.2 = 0.3

F(50< x ≤70) = 0.4 + 0.3 = 0.7

F(70< x ≤80) = 0.2 + 0.7 = 0.9

F(x>80) = 1

Задача 2. Автоматическая линия состоит из n независимо работающих однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует наладки в течение смены для каждого станка равна 0,3. Требуется:

1) построить ряд распределения CB X – числа станков, которым потребуется наладка в течение смены, если n = 4;

2) оценить вероятность того, что за смену потребуют наладки 20 станков, если n = 100.

Наладка потребуется станкам из п= 4 представляет случайную величину Хсмножеством значений X= т =0, 1, 2, 3, 4, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:

, где q = 1-p

В нашем случае n = 4, p = 0,3, q = 1-p = 0,7

Вычислим

Р(Х=0)=

0,3⁰*0,7⁴=1*1*0,2401=0,2401

Р(Х=1)=

0,3¹*0,7³=4*0,3*0,343=0,4116

Р(Х=2)=

0,3²*0,7²=6*0,09*0,49=0,2646

Р(Х=3)=

0,3³*0,7¹=4*0,027*0,7=0,0756

Р(Х=4)=

0,3⁴*0,7⁰=1*0,0081*1=0,0081
(Здесь учтено, что

= 1,

= 4,

, ,

= 1)
Ряд распределения имеет вид

Х	0	1	2	3	4
Р	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

проверка Р=0,2401+0,4116+0,2646+0,0756+0,0081=1

к=20 n=100 p=0.3 q=1-0.3=0.7

2)

х=

(2.18)=0.485

P(20)=

Задача 3. Непрерывная CB X задана функцией распределения

Найти:

1) плотность распределения f(x);

2) M(X) и D(X);

3) P(3 < X < 9);

4) вероятность того, что в 4 независимых испытаниях CB X ровно 2 раза примет значения, принадлежащие интервалу (3; 9).

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

0, x

-1≤ x ≤ 16

1, x > 16

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
Плотность распределения f(x):

0, x < 4
0, x ≥ 16

Математическое ожидание.

Дисперсия.

= ¹/₁₀•16^5/₂ - (¹/₁₀•4^5/₂) - (²⁸/₃)² = ⁵⁴⁴/₄₅

Среднеквадратическое отклонение.
Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a
P(0.25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Р(3
Вероятность того, что Х примет значение xЄ(3; 9) ровно 2 раза в 4-х испытаниях, равна по ф-ле Бернулли: q=1-0.24=0.76

Р4 (2) =

²*0.76²=6*0.0576*0.5776=0.2
Задача 4. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Случайная величина X – разница между временем, показываемым на табло и истинным временем имеет равномерное распределение. Найти вероятность того, что в некоторый момент времени часы укажут время, которое отличается от истинного: а) не менее, чем на 10 с и не более, чем на 25 с; б) не менее, чем на 25 с.

а)М(Х)=(10+25)/2=17,5

=(25-10)/2

=4,3

Ф(

)-Ф(

)=Ф(1,7)-Ф(-1,7)=0,46+0,46=0,92

б)Показание часов в данное мгновение времени можно рассматривать как случайную непрерывную величину X, которая равномерно распределена на интервале (0;60). Плотность распределения этой случайной величины равно:

p(x)=	1
	60-0

=	1
	60

Пусть событие А — «в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 25 с». Данное событие может произойти или в интервале (0;25), или в интервале (35;60). Так как эти интервалы не пересекаются, то по теореме сложения вероятностей двух независимых событий

имеем:

Р(А)=Р(0

₂₅		₆₀				₂₅₆₀
Р(А)=∫	1	dx+∫	1	dx=	1	(x\|+x\|)=1/60*(25+60-35)=50/60=5/6
Р(А)=∫	60	dx+∫	60	dx=	60	(x\|+x\|)=1/60*(25+60-35)=50/60=5/6
⁰		³⁵				₀₃₅