2 задачи. 1. Вычислить zпреобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала x(n), согласно своему

• Название: 1. Вычислить zпреобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала x(n), согласно своему
• Дата: 10.05.2022
• Размер: 261.28 Kb.
• Имя файла: 2 задачи.docx
• Тип: Задача; #520242

задачА 1

1. Вычислить Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}, согласно своему варианту.

2. Определить дискретную свертку {y(n)}, если импульсная характеристика системы имеет вид (см. таблицу 1.1). Определить системную функцию H(Z).

3. Построить схему нерекурсивного фильтра, которому соответствует системная (передаточная) функция H(Z) и позволяющего получить рассчитанные выходные отсчеты {y(n)}.

4. По заданному Z-преобразованию X(Z) определить отсчеты дискретного сигнала {x(n)}, согласно своему варианту.

Исходные данные приведены в таблице 1.1.
Исходные данные

Var 20

x = {1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1}

h = {2, 2, 1, 1, 1}

1.2 Выполнение задания 1

1.2.1 Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}

Дана дискретная последовательность отсчетов сигнала:
{x(n)}= {1,1,0,0,1,0…}
Прямое одностороннее Z-преобразование имеет вид:


Подставив значения, получим:

дискретный сигнал свертка фильтр

1.2.2 Определение дискретной свертки

{x(n)}= {1,1,0,0,1,0…}, {h(m)}= {1,2,2,3,1}
Сигнал на выходе дискретной цепи связан с сигналом на входе цепи формулой дискретной свертки, поэтому n-ый отсчет дискретной выходной последовательности рассчитывается как:

где – импульсная характеристика цепи.

				1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

1. 
   n=0
   

h(0-m)

			1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

2. 
   n=1
   

h(1-m)

		1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

3. 
   n=2
   

h(2-m)

	1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

4. 
   n=3
   

h(3-m)

1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

5. 
   n=4
   

h(4-m)

1	1	0	0	1	0
	1	3	2	2	1

6. 
   n=5
   

h(5-m)

1	1	0	0	1	0
		1	3	2	2	1

7. 
   n=6
   

h(6-m)

8. 
   n=7
   

1	1	0	0	1	0
			1	3	2	2	1

h(7-m)

9. 
   n=8
   

1	1	0	0	1	0
				1	3	2	2	1

h(8-m)

10. 
    n=9
    

1	1	0	0	1	0
					1	3	2	2	1

h(9-m)



y(n)={1,3,4,5,5,3,2,3,1,0…}
На рисунке 1.1 и 1.2 заданы графически воздействие и импульсная характеристика. График вычисленной реакции приведен на рисунке 1.3


Рисунок 1.1 – График воздействия


Рисунок 1.2 – График импульсной характеристики


Рисунок 1.3 – График вычисленной реакции
Системная функция будет иметь вид:

C другой стороны, передаточной (системной) функцией дискретной цепи называют отношение Z-преобразований выходного и входного дискретных сигналов:







Результаты обоих способов совпали.

1.2.3 Схема нерекурсивного фильтра

КИХ-фильтры реализуются на основе свертки двух функций. Первая функция является входным сигналом , а вторая называется ядром фильтра и определяет его импульсную характеристику
. (1.1)
Структурная схема (прямая структура), реализующая алгоритм (1.1) приведена на рисунке 1.4. Её транспонированная реализация приведена на рисунке 1.5

Алгоритм (1.1) можно представить в виде
(1.2)
где – а₀, а₁, …а_m действительные постоянные («весовые») коэффициенты; m – порядок нерекурсивного фильтра, т. е. максимальное число запоминаемых чисел.

Формулы (1.1) и (1.2) тождественны, а коэффициенты а₀, а₁, …а_m совпадают с соответствующими отсчетами импульсной характеристики фильтра h₀, h₁, …, h_m.


Рисунок 1.4 – Прямая структурная схема нерекурсивного ЦФ


Рисунок 1.5 – Транспонированная структурная схема нерекурсивного ЦФ

1.2.4 Определение отсчетов дискретного сигнала

Дано Z-преобразование . Отыскание оригинала, т. е. функции s_Д(t) или x(n), по заданному изображению X(Z) производится с помощью разложения на простые дроби:






Согласно формулам

И



Видно, что первое слагаемое является суммой бесконечной прогрессии с первым членом и знаменателем z^-1, а второе слагаемое – дискретной показательной функции . Следовательно, искомая последовательность имеет вид:

Найденные отсчеты:
{x(n)}={1,25;0,938;1,016;0,996;1,001…}

ЗАДАЧА 2.

1. Определить передаточную характеристику передаточную (системную) функцию рекурсивного ЦФ.

Коэффициенты числителя « » и знаменателя « » определяются согласно своему варианту.

2. Разработать структурную схему рекурсивного фильтра, реализующую полученную передаточную функцию (прямую, каноническую и транспонированную реализации).

3. Рассчитать первые три отсчета импульсной характеристики фильтра {h(n)}, полученные при прохождении через разработанный фильтр сигнала {x(n)}={1,0,0}.
Таблица 2.1 – Исходные данные

Var 20

a0=3, a1=2, a2=2, a3=1, a4=1, a5=1

b1=2, b2=2, b3=1, b4=1, b5=1

2.2 Выполнение задания 2

2.2.1 Передаточная характеристика рекурсивного ЦФ

Алгоритм цифровой фильтрации рекурсивного ЦФ имеет вид:

(2.1)
где b_i и a_j – вещественные коэффициенты.

Или используя (4.13) [2]:
(2.2)
Перегруппировав входные и выходные отсчеты по разные стороны знака равенства, получим традиционную форму записи разностного уравнения:
(2.3)
Применив Z-преобразование к (2.2; 2.3) и решив его относительно , найдем передаточную (системную) функцию рекурсивного ЦФ (5.6)[2]:
(2.4)

H (Z) =

2.2.2 Структурные схемы рекурсивного фильтра

Прямая форма рекурсивных фильтров реализуется непосредственно по его разностному уравнению (2.2) или по передаточной функции (7.2). Она содержит один сумматор, умножители и N+M-2=10 элемента задержки. Порядок фильтра равен пяти (см. рисунок 2.1). Недостаток такого способа реализации – сравнительно большое число ячеек памяти, уменьшить количество которых позволяет каноническая форма (см. рисунок 2.2).


Рисунок 2.1 – Прямая структура рекурсивного фильтра


Рисунок 2.2 – Прямая каноническая структура рекурсивного фильтра

Транспонированная структура представлена на рисунке 2.3.


Рисунок 2.3 – Транспонированная структура рекурсивного фильтра

2.2.3 Отсчеты импульсной характеристики

Воздействие имеет вид:
{x(k)}={1,0,0,…}
1) На вход поступает единичный импульс, умножается на a₀ и проходит на выход. Получим:

2) Далее входной единичный импульс попадает на входную линию задержки, а выходной отсчет а₀ – в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как
.
3) Если продолжить рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить:

Далее:

В итоге имеем:
{h(n)}={2,5,17,58}